Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1) f'(x)=2*x/4-2/x
f'(x)=x²/2x-4/2x
f'(x)=(x²-4)/2x
Or x²-4 est de la forme a²-b²=(a+b)(a-b)
Donc f'(x)=(x+2)(x-2)/2x
2) On fait le tableau de signe :
x 0 2 +oo
x II + I + II
x+2 II + I + II
x-2 II - I + II
f'(x) II - I + II
3) On en déduit le tableau de variation
x 0 2 +oo
f(x) II décroissante I croissante II
4) La tangente a une équation du type y=ax+b
Au point d'abscisse 1 on sait que a=f'(1)
f'(1)=(1-2)(1+2)/2=-3/2
a=-3/2
D'autre part la tangente passe par le point de la courbe d'abscisse 1
f(1)=1²/4-1-2ln1=1/4-1=-3/4
On a donc -3/4=-3/2*1+b
b=3/2-3/4=3/4
Donc l'équation de la tangente est y=-3/2*x+3/4