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Sagot :
Réponse :
a) On a OM=OA+OB+OC il faut ensuite introduire les vecteurs AM et OA'
Pour cela on utilise la relation de Chasles. On a donc :
OA+AM=OA+OB+OC
AM=OB+OC
AM=OA'+A'B+OA'+A'C
AM=2OA'+A'B+A'C
AM=2OA'+A'B-BA' (car A' est le milieu de [BC] donc BA'=A'C)
AM=2OA'
Le point M appartient forcément à la hauteur du triangle car AM s'exprime en fonction de OA' qui est perpendiculaire à [BC]. Ainsi AM seras également perpendiculaire à [BC] et par définition AM passe par le point A donc AM appartient bien à la hauteur du triangle.
Pour montrer que M et H sont confondus, il suffit de montrer que AM et AH sont égaux. Je te laisse démonter ça.
b) Je ne détail pas cette question puisque tu l'as réussie.
On admet que OA+OB+OC=3OG
c) Résonnons par équivalence :
OA+OB+OC=3OG
⇔ OA+AM=3OG (car dans la question 1 on a AM=OB+OC)
⇔ OM=3OG
⇔ OH=3OG (car H et M sont confondus)
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