Bonjour :)
Tout d’abords, Il s’agira dans ce cours de démontrer la solution générale d’une équation différentielle de type y’ = ay. Pour terminer, deux exemples seront proposés afin de vous familiariser avec des études de cas que vous pouvez rencontrer lors d’un exercice ou d’un devoir noté.
- Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue n’est plus simplement une variable mais une fonction.
Exemple :
Nous souhaitons connaître la fonction y telle que : y' = x
On sait d’après cette équation différentielle que la dérivée de y vaut x. Cherchons alors, la forme générale de la solution qui répond à cette équation.
[tex]y(x) = \frac{1}{2}x^{2} + C\\\\y'(x)= 2* \frac{1}{2}x = x[/tex]
Par conséquent, l’ensemble des solutions est de la forme : [tex]y(x)= \frac{1}{2}x^{2} + C[/tex]
avec C une constante réelle quelconque. (Rappel : la dérivée d'une constante est nulle)
- Solution générale d'une équation différentielle de type y' = ay
On définit une fonction y dérivable sur [tex]\mathbb R\\[/tex] telle que y' = ay et a [tex]\in \mathbb R\\[/tex]
[tex]y'=ay\\\\\frac{y'}{y} =a\\\\\int\limits\frac{y'}{y} \, = \int\limits {a} \,\\\\ln(y)=ax\\\\y(x)=Ke^{ax}[/tex]
L'ensemble des solutions est donné par la forme générale : [tex]y(x) = Ke^{ax}[/tex] avec K constante réelle et a [tex]\in \mathbb R\\[/tex].
Exemple 1 : on définit y telle que y’ = 4y
L’équation est de la forme y’=ay avec a = 4. Nous appliquons la formule vue au cours.
L’ensemble des solutions de y’ = 4y est de la forme :
[tex]y(x)=Ke^{4x}[/tex]
Exemple 2 : on définit y telle que y’ = -2y et y(0) = 7
L’équation est de la forme y’=ay avec a = -2. Nous appliquons la formule vue au cours.
L’ensemble des solutions de y’ = -2y est de la forme :
[tex]y(x) = Ke^{-2x}[/tex]
Ayant une condition particulière supplémentaire dans l’énoncé (y(0) = 7), nous pouvons en déduire une solution exacte de y.
[tex]y(0)= Ke^{-2*0}=7\\\\Ke^{0}=7\\\\K=7\\[/tex]
La solution exacte est donc : [tex]y(x) = 7e^{-2x}[/tex]
En espérant que ce cours t'aura aidé, je te souhaite une excellente continuation. :))
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