Bonjour :))
Réponse :
Pour réaliser une transaction de x euros, il suffit de donner 2x jetons rouges et rendre 3x jetons bleus.
Exemple : nous souhaitons réaliser une transaction de 12 euros.
- 24 jetons rouges et 36 jetons bleus
- 24 * 11€ - 36 * 7€ = 12€
Explications étape par étape :
Montrons dans un premier temps que PGCD(11; 7) = 1. Autrement dit que 11 et 7 sont premiers entre eux. Cela paraît trivial, il est néanmoins important de montrer la méthode et de détailler l'algorithme afin d'en déduire les coefficients de Bézout.
11 = 1 * 7 + 4
7 = 1 * 4 + 3
4 = 1 * 3 + 1 <------ PGCD(11; 7) = 1
3 = 3 * 1 + 0
Par conséquent, nous concluons que 11 et 7 sont des nombres premiers entre eux.
Il faudrait maintenant connaitre la manière dont on peut former 1€ avec le système de transaction que nous souhaitons créer.
D'après le théorème de Bézout, il existe une combinaison linéaire avec u, v des entiers et a, b deux nombres premiers telle que :
a.u + b.v = 1
Avec les lignes de PGCD inscrites ci-dessus nous allons pouvoir identifier les coefficients de Bézout (u et v)
Un moment donné, on trouve : 4 = 1 * 3 + 1
Nous allons transformer l'expression de façon à isoler 1 de l'égalité
1 = 4 - 1 * 3
Ensuite en remontant les lignes du PGCD calculé, nous avons :
7 = 1 * 4 + 3
Nous allons isoler 3 : 3 = 7 - 1 * 4
En reprenant 1 = 4 - 1 * 3 on remplace le 3 par l'expression donnée au dessus.
1 = 4 - 1 * (7 - 1 * 4)
1 = - 1 * 7 + 2 * 4
On répète le même principe avec la ligne précédente du PGCD
1 = -1 * 7 + 2 * (11 - 1 * 7)
1 = 2 * 11 - 3 * 7
On sait que a = 11 et b = 7
C'est donc équivalent à dire que u = 2 et v = -3
D'après le théorème de Bézout, nous trouvons que pour former 1€, nous avons besoin de donner 2 jetons rouges (à 11€) et de rendre 3 jetons bleus (à 7€)
Ce qui permet de conclure que, nous pouvons réaliser n'importe qu'elle transaction de nombres entiers d'euros. Pour une transaction de x euros, il faudra alors donner 2x jetons rouges et rendre 3x jetons bleus.
Voilà ! j'espère que ceci te permettra de mieux comprendre !
Bon courage et bonne soirée :))
