Bonsoir,
Rappel 1 : (Apprendre par coeur)
EQUATION CARTESIENNE D'UNE DROITE
c'est une equation de la forme ax+by+c=0 avec a,b et c des reels avec a different de 0 ou b different de 0.
Rappel 2 : (Apprendre par coeur)
Soit deux u et v vecteurs et de composantes u(x,y) et v(x',y') dans une base (i,j).
Le déterminant de (u,v) dans la base (i,j) est le réel xy'-yx'.
Rappel 3 : (Apprendre par coeur)
Les droites d’équation a x + b y + c = 0 et a' x + b' y + c' = 0 sont parallèles équivaut à : ab' - ba' = 0.
1)
soit A(-1;2) et B(1;4) dans un repère cartésien.
Calculons les coordonnées du vec(AB)
vec(AB) a pour abscisse [1-(-1)]=2 et pour cordonnée (4-2)=2
AB(2;2)
soit M(x;y) appartenant a la droite (AB) alors vec(AM) et vec(AB) sont colinéaires donc leur déterminant est nul. Les coordonnées de vec(AM) sont [(x+1);(y-2)]
regarde le Rappel 1 pour le déterminant.
on a : 2(y-2) - 2(x+1) = 0
2y - 4 - 2x - 2 = 0
2y - 6 - 2x = 0
Donc l'équation cartésienne de (D) : - 2x + 2y - 6 = 0
cf. document point1.png
2) vec(u) = (1;1) et C(2; -5) dans le plan cartésien.
soit M(x;y) appartenant a la droite (CM) alors vec(CM) et vec(u) sont colinéaires donc leur déterminant est nul. Les coordonnées de vec(CM) sont [(x-2);(y+5)]
regarde le Rappel 1 pour le déterminant.
on a : 1(y+5) -1(x-2) = 0
y + 5 - x + 2 = 0
y + 7 - x = 0
cf. document point2.png
3)
(d) : Droite d’équation cartésienne 7x - 4y + 3 = 0 et son vecteur u(+4; 7)
(d)' : Droite d’équation cartésienne ax + by + c = 0 et son vecteur v(-b; a)
(d) // (d') cela veut dire que les formes réduites possèdent le même coefficient directeur.
forme réduite de (d) :
7x - 4y + 3 = 0
7x + 3 = 4y
y = (7/4)x + (3/4) le coefficient est 7/4
forme réduite de (d') : y = (7/4)x + b
on sait qu'elle passe par le point D(3;-1) , on peut déterminer b
-1 = (7/4) * 3 + b
-1 = 21/4 + b
-1 - 21/4 = b
-4/4 - 21/4 = b
-25/4 = b
donc sa forme réduite est :
y = (7/4)x -25/4
l'équation cartésienne est :
(d') : 4y - 7x + 25 = 0
je te laisse calculer le déterminant des deux droites cartésiennes. Il doit égal à 0 ce qui prouve que les droites sont //
Cet exercice est terminé.
Bon courage
