Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour
1) Avec un seul disque il suffit de le déplacer sur la tige voisine, un seul mouvement suffit donc U1=1
Avec deux disques : on déplace le plus petit sur la tige n°2, puis le plus grand sur la tige n°3, et enfin le plus petit de la tige n°2 à la tige n°3. Ce qui fait 3 mouvements. Donc U2=3
2) Avec 3 disques : On commence par appliquer la méthode ci-dessus pour 2 disques pour mettre les les disques du dessus sur le tige n°3. Soit 3 mouvements.
Ensuite, on déplace le plus grand disque sur la tige n°2, soit 1 mouvement.
Enfin on applique la méthode de déplacement pour deux disques de la tige n°3 à la tige n°2 soit 3 mouvements à nouveau.
Donc U3=3+1+3=7
3) Pour déplacer n+1 disques : on déplace d'abord les n disques du dessus ce qui nécessite Un mouvements.
On déplace ensuite le disque du dessous, soit 1 mouvement.
Enfin, on redéplace les n disques du début sur le disque du dessous soit Un mouvements.
On a donc au total : Un + 1 + Un mouvements pour déplacer n+1 disques.
Donc U(n+1)=2Un + 1
4a) Vn=Un + 1
V(n+1)=U(n+1) + 1=2Un+1+1=2Un+2=2(Un+1)=2Vn
4b) On V(n+1)/Vn=2 donc Vn est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme V1=U1+1=2
4c) Par définition [tex]Vn=V1*2^{n-1}=2*2^{n-1}=2^{n}[/tex]
Donc Un=Vn-1=[tex]2^{n}-1[/tex]
5) Avec une tour de 10 disques il faut U10=2^10-1=1024-1=1023 mouvements
Donc il faut 1023 secondes
1023=17x60+3
Donc il faut 17 minutes et 3 secondes
Tu faut pareil avec 2^64-1 ce qui va te donner de très nombreuses années...