Réponse :
f(x) = ln (x)/(x - 1) définie sur ]1 ; + ∞[
1) Montrer que, pour tout x ∈ ]1 ; + ∞[
f '(x) = (1 - 1/x - ln (x))/(x - 1)²
f '(x) = (u/v) ' = (u'v - v'u)/v²
u = ln (x) ⇒ u' = 1/x
v = x - 1 ⇒ v' = 1
f '(x) = (1/x(x - 1) - ln (x))/(x - 1)²
f '(x) = [1 - 1/x - ln (x)]/(x - 1)²
2) g(x) = 1 - (1/x) - ln (x) définie sur ]1 ; + ∞[
a) calculer g(1)
g(1) = 1 - 1/1 - ln(1) = 0
b) vérifier que g '(x) = (1 - x)/x²
g '(x) = 1/x² - 1/x
= (1 - x)/x²
c) après avoir étudié le signe de g ' sur ]1 ; + ∞[, donner le sens de variation de g sur ce même intervalle
g '(x) = (1 - x)/x² or x² > 0 et x > 1 ⇔ - x < - 1 ⇔ 1 - x < 0
g '(x) < 0 ⇒ g est décroissante sur ]1 ; + ∞[
d) en déduire le signe de g sur ]1 ; + ∞[
g(x) < 0
3) déduire des questions précédentes le signe de f ' puis le sens de variation de f
f '(x) = g(x)/(x - 1)² or (x - 1)² > 0 et g(x) < 0 donc f '(x) < 0
f '(x) < 0 ⇒ f est décroissante sur ]1 ; + ∞[
Explications étape par étape :