Exercice 1 :
a) D'abord on calcul le module de [tex]z[/tex] : [tex]|z| = \sqrt{1 + \sqrt{3}^2} = 2.[/tex]
Ensuite on factorise z par son module : [tex]z = 2(\frac{1}{2} +i\frac{\sqrt 3}{2})[/tex]
On remarque que [tex]cos (\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}[/tex] et que [tex]sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt 3}{2}[/tex]
Donc [tex]z = 2(cos(\frac{\pi}{3}) + isin(\frac{\pi}{3}))[/tex] donc [tex]arg\text{ }z = \frac{\pi}{3}[/tex]
De la même manière on obtient [tex]arg\text{ }z' = \frac{-\pi}{4}[/tex].
b) On rappelle que [tex]arg\text{ } zz' = arg\text{ } z + arg\text{ } z' [2\pi][/tex]. Ici on a donc [tex]arg\text{ } zz' = \frac{\pi}{12}[/tex].
c) [tex]zz' = (1+\sqrt 3) + i(\sqrt3 - 1) \text{ donc } |zz'| = 2\sqrt2[/tex], on peut ensuite factoriser [tex]zz' = 2\sqrt2(\frac{1+\sqrt3}{2\sqrt2}) + i sin(\frac{\sqrt3 - 1}{2\sqrt2}))[/tex]. En passant à la forme trigonométrique on obtient [tex]zz' = 2\sqrt2((cos\frac{\pi}{12}) + isin(\frac{\pi}{12}))[/tex]. On en déduit que [tex](cos\frac{\pi}{12}) = \frac{1 + \sqrt3}{2\sqrt2} = \frac{\sqrt6 + \sqrt2}{4}[/tex].
Exercice 2 :
a) [tex]arg\text{ }z = \frac{\pi}{4}[/tex], en utilisant la même méthode qu'au dessus.[tex]arg\text{ }z' = \frac{\pi}{3}[/tex] on l'a vu dans l'exercice d'avant.
b) [tex]arg\text{ }zz' = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}[/tex]
c) [tex]zz' = (1+i)(1+i\sqrt3) = (1-\sqrt3) + i(\sqrt3 + 1)[/tex]
On factorise par le module on obtient [tex]zz' = 2\sqrt2 (\frac{1 - \sqrt3}{2\sqrt2} + i\frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2})[/tex], on en déduit que [tex]cos(\frac{7\pi}{12}) = \frac{1 - \sqrt3}{2\sqrt2} \text{ et } sin(\frac{7\pi}{12}) = \frac{\sqrt3 + 1}{2\sqrt2}[/tex].
Exercice 3 :
a) [tex]|z| = 2 \text { donc } z = 2(\frac{\sqrt3}{2} + i\frac{1}{2})[/tex]. On en déduit que [tex]arg\text{ }z = \frac{\pi}{6}[/tex].
b) [tex]arg\text{ }z^{2022} = \frac{\pi}{3} \times 2022 = 337\pi \equiv \pi [2\pi][/tex], donc [tex]z^{2022}[/tex]est réel.
Exercice 4 :
a) Vu exo 1 : [tex]arg\text{ }z = \frac{-\pi}{4}[/tex].
b) [tex]Z = z^8 \text { donc } arg\text{ }Z = 8\times arg\text{ }z = -2\pi \equiv 0[2\pi][/tex], donc Z est réel.
De même [tex]Z = z^8 \text { donc } arg\text{ }Z = 10\times arg\text{ }z = -5\frac{\pi}{2} \equiv -\frac{\pi}{2} [2\pi][/tex],donc Z' est bien un imaginaire pur.