Réponse :
bonjour exercice classique sans difficulté particulière dès lors que l'on connaît son cours sur les fonctions et les dérivées et les calculs avec des puissances (prog de 4ème)..
Explications étape par étape :
f(x)=(x-1)(e^x)+2 sur [-2; +oo]
1) f(-2)=(-2-1)(e^-2) +2=-3/e² +2=.......(calculette)
f(0)=(0-1)e^0 +2=-1+2=1
3) Il est préférable de faire la question 3 avant la 2) car on a besoin de cette limite pour remplir le tableau.
si x tend vers +oo , (x-1) tend vers +oo; e^x tend vers +oo donc f(x) tend vers +oo.
2) dérivée : f(x) est de la forme u*v sa dérivée est donc u'v+v'u
u=x-1 u'=1 et v=e^x v'=e^x
f'(x)=1(e^x)+(e^x)(x-1)= x e^x
f'(x) =0 pour x=0
Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 2 0 +oo
f'(x) - 0 +
f(x) f(-2).........D.....................f(0)...........C.............+oo
D= décroissant C=croissante
4) On note que f(1)=2 donc A appartient à la courbe représentant f(x)
L'équation de la tangente (T) à la courbe au point A a pour équation:
(T) y=f'(1)(x-1)+f(1)=e(x-1)+2=e*x-e+2=e*x+2-e
Dans l'équation y=e*x +2-e le terme (2-e) correspond à l'ordonnée à l'origine donc au point (0;+-e2) soit le point B
Conclusion : la droite (AB) est la tangente à la courbe au point A
5) Facile!! la fonction F(x) =(x-2)(e^x)+2x est une primitive de f(x), si sa dérivée F'(x)=f(x) .
F'(x)=1(e^x)+(e^x)(x-2)+2=(x-1)(e^x)+2=f(x)
