Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1-a) f(1)=-1 et f'(1)=-2c'est le coef directeur de la tangente.
b) (T1) y=-2x+1
2)f(x)=2lnx +a/x +b
sa dérivée f'(x)=2/x-a/x²
on sait que f(1)=-1 donc a/1+b=-1 soit a+b=-1
on sait aussi que f'(1)=-2 don 2/1+a/1=-2 soit 2+a=-2 donc a=4
si a=4 alors b=-a-1=-5
donc f(x)=2lnx+4/x-5 (réponse donnée dans la partie B)
Partie B
f(x)=2lnx+4/x -5
1) f'(x)=2/x-4/x²=(2x-4)/x² réponse donnée dans l'énoncé.
on note que f'(x)=0 pour x=2
Limites
si x tend vers 0+ f(x) tend vers +oo
si x tend vers +oo, f(x) tend vers +oo
2)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)
x 0 2 +oo
f'(x) - 0 +
f(x)+oo......D..........f(2)..............C....................+oo
f(2)=-1,6 environ
3)f(x)=0 a deux solutions et non une
une au voisinage de x=10 f(10)=0,005
une entre entre 0,5 et 1
f(0,5)=1,6 et f(1)=-1
4) F(x)=(2x+4)lnx -7x est une primitive de f(x) si F'(x)=f(x)
F'(x)=2lnx+(1/x)(2x+4)-7=2lnx+2+4/x-7=2lnx+4/x-5
Aire =F(1)-F(e)=-7-(2e+4)lne+7e=-7-2e-4+7e=5e-11= 2,6 u.A (environ)
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