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Sagot :
Réponse :
f est définie sur l'intervalle [- 1 ; 5]
par f(x) = (x - 3)² + 10
a) conjecturer le sens de variation de f sur l'intervalle [- 1 ; 5]
La fonction f est décroissante sur [- 1 ; 3]
la fonction f est croissante sur [3 ; 5]
b. x ∈ [- 1 ; 3] Le signe de (x - 3) ≤ 0
en déduire une comparaison de (a - 3)² et (b - 3)² avec a et b dans [- 1 ; 3]
tel que a < b; conclure sur le sens de variation de f sur [- 1 ; 3]
(a - 3)² = a² - 6 a + 9
(b - 3)² = b² - 6 b + 9
......................................................
(a - b)²-(b - 3)² = a² - b² - 6 a + 6 b + 9 - 9
= a² - b² - 6 a + 6 b
= (a - b)(a+b) - 6(a - b)
= (a - b)(a + b - 6)
or a < b ⇔ a - b < 0 et a ∈ [- 1 ; 3] ⇔ a < 3
b ∈ [- 1 ; 3] ⇔ b < 3
....................
a + b < 6 ⇔ a + b - 6 < 0
donc (a - 3)² - (b - 3)² > 0 donc (a - 3)² > (b - 3)²
donc la fonction f est décroissante sur [- 1 ; 3]
c) déterminer, par une méthode analogue, le sens de variation de f sur l'intervalle [3 ; 5]
a < b et a ∈ [3 ; 5] et b ∈ [3 ; 5]
(a - 3)² = a² - 6 a + 9
(b - 3)² = b² - 6 b + 9
...........................................
(a-3)² - (b - 3)² = a² - b² - 6 a + 6 b
= (a - b)(a + b) - 6(a - b)
= (a - b)(a + b - 6)
or a < b ⇔ a - b < 0
et a > 3
b > 3
......................
a + b > 6 ⇔ a + b - 6 > 0
donc (a - 3)² - (b - 3)² < 0 ⇒ f est croissante sur l'intervalle [3 ; 5]
Explications étape par étape
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