Réponse :
f(x) = x³
1) déterminer par le calcul f(1) et f '(1)
f(1) = 1³ = 1
f '(1) = lim (f(1+h) - f(1))/h = lim (h²+ 3 h + 3) = 3
h→0 h→0
f(1+h) = (1+h)³ = 1 + 3 h + 3 h² + h³
f(1+h) - f(1) = 1 + 3 h + 3 h² + h³ - 1 = h³ + 3 h² + 3 h = h(h² + 3 h + 3)
(f(1+h) - f(1))/h = h(h² + 3 h + 3)/h = h² + 3 h + 3
2) démontrer que étudier la position relative de la courbe Cf par rapport à la tangente revient à étudier le signe de x³ - 3 x + 2
f(x) - y avec y = f(1) + f '(1)(x-1) équation de la tangente T
= 1 + 3(x - 1)
y = 3 x - 2
d'où f(x) - y = x³ - (3 x - 2)
= x³ - 3 x + 2
3) vérifier que pour tout réel x, x³ - 3 x + 2 = (x - 1)(x² + x - 2)
(x - 1)(x² + x - 2) = x³ + x² - 2 x - x² - x + 2
= x³ - 3 x + 2
4) en déduire la position relative de Cf par rapport à T
x² + x - 2
Δ = 1 + 8 = 9 > 0 ⇒ 2 racines distinctes
x1 = - 1+3)/2 = 1
x2 = - 1 - 3)/2 = - 2
forme factorisée est : (x - 1)(x + 2)
on aura (x - 1)²(x + 2) or (x - 1)² ≥ 0 donc le signe de f(x) - y dépend du signe x + 2
f(x) - y ≥ 0 sur l'intervalle [- 2 ; + ∞[ ⇒ Cf est au-dessus de T
f(x) - y ≤ 0 // // ]-∞ ; - 2] ⇒ Cf est en dessous de T
Explications étape par étape