Exercice 1 :
1) Pour U(1), remplacez n par 0 dans l'expression de U(n+1) donnée dans l'énoncé (si tu remplaces n par 0, tu as donc : U(0+1) = U(1).)
Idem pour U(2), tu remplaces cette fois-ci n par ... (à toi de compléter) dans l'expression de U(n+1) dans l'énoncé.
La suite est-elle arithmétique ?
Si U(2) - U(1) est différent de U(1) - U(0), elle ne l'est pas. Tu peux directement conclure.
Si U(2) - U(1) égale U(1) - U(0), elle est peut être arithmétique, et il faut le prouver dans le cas général. Pour faire cela, fais la différence " U(n+1) - U(n) ", en remplaçant " U(n+1) " par son expression donnée dans l'énoncé. Développe le calcul, si tu arrives à un résultat qui ne dépend pas de " n " (donc que des nombres), ça veut dire que la suite est arithmétique, et le résultat que tu auras trouvé est sa raison.
La suite est-elle géométrique ?
Si U(2) / U(1) est différent de U(1) / U(0), elle ne l'est pas. Tu peux directement conclure. (Remarque : " / " est le signe " divisé ")
Si U(2) / U(1) égale U(1) / U(0), elle est peut être géométrique, et il faut le prouver dans le cas général. Pour faire cela, fais le quotient " U(n+1) / U(n) ", en remplaçant " U(n+1) " par son expression donnée dans l'énoncé. Développe le calcul, si tu arrives à un résultat qui ne dépend pas de " n " (donc que des nombres), ça veut dire que la suite est géométrique, et le résultat que tu auras trouvé est sa raison.
2)a)
Montrer que la suite est géométrique ?
Fais le quotient " V(n+1) / U(n) ", en remplaçant " V(n+1) " par son expression donnée dans l'énoncé, puis " U(n+1 " (qui devrait apparaître lui aussi) par son expression dans l'énoncé. Développe le calcul, si tu arrives à un résultat qui ne dépend pas de " n " (donc que des nombres), ça veut dire que la suite est géométrique, et le résultat que tu auras trouvé est sa raison.
b) Par définition, une suite géométrique s'écrit : " V(n) = V(0)*q^n ", avec q la raison de la suite géométrique
(Remarque : " ^n " signifie " puissance n ")
Tu as prouvé à la question précédente que cette suite est géométrique, il te suffit de calculer V(0) et de le remplacer par sa valeur (pour calculer V(0), sert toi de l'expression de V(n) donnée dans l'énoncé, ainsi que de U(0) qui devrait apparaître dans les calculs)
Pour U(n), grâce à l'énoncé, tu sais que V(n) = 1/U(n).
Donc, U(n) = 1/V(n).
Comme tu viens tout juste de déterminer V(n) en fonction de n uniquement, remplace V(n) par cette expression dans " U(n) = 1/V(n) "
Exercice 2 :
La plupart des questions sont similaires à l'exercice précédent (en termes de méthode)
Petit ajout : les sommes. Voici les formules
Pour une suite arithmétique, la somme de ses termes vaut :
( (U(0) + U(n)) * (n + 1) ) / 2
Pour une suite géométrique avec une raison q différente de 1, la somme de ses termes vaut :
( U(0) * ( 1 - q^(n+1) ) ) / (1 - q)
Exercice 2 bis :
Partie A : Faire sur une feuille chaque instruction donnée par l'algorithme, tu devrais pouvoir y répondre par toi même
Partie B :
Questions encore similaires aux exercices précédentes. Pour les nouveautés :
Pour démontrer que U(n) est croissante, il suffit de faire la différence :
U(n+1) - U(n)
Après calcul, si tu arrives à quelque chose de positif, cela signifie que U(n+1) est plus grand que U(n), et ce, pour tout n. En d'autres termes, cela signifie que U(n) est croissante.
Pour la limite, faire tendre n vers l'infini et voir ce qu'il se passe (si tu n'y arrives pas mentalement, tapes l'expression en changeant progressivement n sur ta calculatrice par des valeurs de + en + grande : 10 puis 100 puis 1000 etc...)
BONUS :
f) se servir de la calculatrice...
g) dans la ligne " pour k allant de 0 à N : "
remplace N par la valeur que tu as trouvé à la question précédente.
Bon courage.