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Sagot :
Réponse :
1.a. A l'aide de la relation de Chasles démontrer que :
vec(AG) = 1/3(vec(AB) + vec(AC))
d'après la relation de Chasles ; vec(AG) = vec(AB) + vec(BG)
vec(GB) = - (vec(GA) + vec(GC)) ⇔ - vec(BG) = - (vec(GA) + vec(GC))
donc vec(BG) = vec(GA) + vec(GC)
et vec(GC) = vec(GA) + vec(AC) d'après la relation de Chasles
donc vec(AG) = vec(AB) + vec(GA) + vec(GC)
= vec(AB) + vec(GA) + vec(GA) + vec(AC)
= vec(AB) + vec(AC) - vec(AG) - vec(AG)
3vec(AG) = vec(AB) + vec(AC)
d'où vec(AG) = 1/3(vec(AB) + vec(AC))
2.a. que vaut la somme vec(A'B) + vec(A'C)
puisque A' milieu de (BC) donc vec(A'B) + vec(A'C) = 0
démontrer que vec(AG) = 2/3vec(AA')
vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)
vec(GA) + vec(GA) + vec(AB) + vec(GA) + vec(AC) = 0
3vec(GA) + vec(AB) + vec(AC) = 0
3vec(GA) = - (vec(AB) + vec(AC))
- 3vec(AG) = - (vec(AB) + vec(AC))
3vec(AG) = vec(AB) + vec(AC)
= vec(AA') + vec(A'B) + vec(AA') + vec(A'C) d'après la relation de Chasles
donc 3vec(AG) = 2vec(AA') + vec(A'B) + vec(A'C) or vec(A'B) + vec(A'C) = 0
d'où 3vec(AG) = 2vec(AA') ⇔ vec(AG) = 2/3vec(AA')
G ∈ (AA')
b. B' le milieu du segment (AC)
démontrer que le vecteur BG = 2/3vec(BB')
sachant que vec(B'A) + vec(B'C) = 0
vec(GA) + vec(GB) + vec(GC) = vec(0)
vec(GB) +vec(BA) + vec(GB) + vec(GB) +vec(BC) = 0
3vec(GB) + vec(BA) + vec(BC) = 0
3vec(GB) = - (vec(BA) + vec(BC))
- 3vec(BG) = - (vec(BA) + vec(BC))
3vec(BG) = vec(BA) + vec(BC)
= vec(BB') + vec(B'A) + vec(BB') + vec(B'C)
= 2vec(BB') + vec(B'A) + vec(B'C) or vec(B'A) + vec(B'C) = 0
donc 3vec(BG) = 2vec(BB') ⇔ vec(BG) = 2/3vec(BB')
G ∈ (BB')
Explications étape par étape
Bonjour
pense à placer les flèches sur les vecteurs :
1. a.
GA + GB + GC = 0
d'aprés a relation de Chasles GB = GA + AB et GC = GA + AC, ce qui donne :
GA + GA + AB + GA + AC= 0
3GA + AB + AC = 0
-3GA = AB + AC
3AG = AB + AC
AG = 1/3 (AB + AC) CQFD
b) cf piece jointe
2. a.)
Si A' le milieu du segment [BC] on peut écrire A'B + A’C = 0
Comme A' est le milieu du côté [BC], on peut alors écrire que :
AB + AC = 2AA' on sait que AG = 1/3 (AB + AC) et par suite :
AG = 1/3(2AA')
AG = 2/3(AA')
Les vecteur AG et AA' sont colinéaires, donc A, G et A' sont alignés. ce qui veut dire que le point G fait partie de la médiane (AA') du triangle (ABC).
b) Si B' le milieu du segment [AC], on peut alors écrire que :
On sait que GA+GB+GC=0
GA = GB + BA
GC = GB + BC
donc :
GB + BA + GB + GB + BC = 0
3GB + BA + BC = 0
-3GB = BA + BC
3BG = BA + BC
ce qui donne :
BG = 1/3(BA+BC)
Mais :
BA +BC = 2BB'
il vient :
BG = 2/3(BB')
Les vecteur BG et BB' sont colinéaires, donc B, G et B' sont alignés. ce qui veut dire que le point G fait partie de la médiane (BB') du triangle (ABC).

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