Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Au moins , toi, tu t'y prends longtemps à l'avance . Bravo !
1)
y=41-x-x-1-1=41-2x-2=41-2(x+1)
2)
Si on veut que la boîte ait des faces latérales qui ne soient pas réduites à rien , donc si on veut avoir une vraie boîte , il faut :
y > 0 soit :
41-2(x+1) > 0 soit :
2(x+1) < 41
x+1 < 20.5
x < 19.5
Et bien sûr il faut x > 0.
Donc : x ∈ ]0;19.5[
3)
On va considérer que les bases de la boîte sont les carrés de côté "x" .
Donc la hauteur est y=41-2(x+1)
Volume = aire base x hauteur
V(x)=x²[41-2(x+1)]
V(x)=x²(41-2x-2)
V(x)=x²(39-2x)
V(x)=39x²-2x³
4)
On développe la partie droite :
(x-18)(x-6)(-2x-9)=(x²-6x-18x+108)(-2x-9)=(x²-24x+108)(-2x-9)
=-2x³-9x²+48x²+216x-216x-972=...je te laisse finir et trouver :
=39x²-2x³-972
5)
On veut V(x) > 972 soit :
V(x)-972 > 0 soit :
39x²-2x³-972 > 0
Mais : 39x²-2x³-972 = (x-18)(x-6)(-2x-9)
Donc on doit résoudre :
(x-18)(x-6)(-2x-9) > 0.
x-18 > 0 pour x > 18
x-6 > 0 pour x > 6
-2x-9 > 0 pour x < -9/2
Tableau de signes :
x---------->0..............6.................18................19.5
(x-18)---->........-.................-..........0..........+...........
(x-6)---->........-........0........+....................+............
(-2x-9)-->.......-...................-......................-......
Produit-->......-.......0.........+........0.........-..........
Donc V(x) > 972 pour x ∈ ]6;18[
6)
V(x)-2197=39x²-2x³-2197
On développe :
(-2x-13)(x-13)²=(-2x-13)(x²-26x+169)=
=-2x³+52x²-338x-13x²+338x-2197=..
Je te laisse finir et trouver : 39x²-2x³-2197
7)
V(x)-2197 est donc du signe de (-2x-13)(x-13)² .
Or : (-2x-13)(x-13)² est du signe de (-2x-13) car (x-13)² est ≥ 0 car c'est un carré.
-2x-13 > 0 pour x < -13/2
Donc sur ]0;19.5[ , le facteur (-2x-13) < 0 et le produit (-2x-13)(x-13)² est toujours ≤ 0 et vaut zéro quand (x-13) =0 donc quand x=13.
Donc :
V(x)-2197 ≤ 0 et vaut zéro pour x=13.
Donc :
V(x) ≤ 2197
Le volume max est donc de 2197 cm³ atteint pour x=13 cm.
Graph joint non demandé.
