On considère une  fonction complexe f qui à tout nombre complexe z distinct de  -i associe le nombre complexe z’ définie par :  = iz+3/z+i

 

1.       Quelques cas particuliers :Existe-t-il des nombres  complexes  z  tel que f(z) = z ? Soit c = -2+i  Monter que c’, image de c par f, est un réel.

 

2.       Des ensembles de points :

On pose z=x+iy  et z'=x'+iy'  avec  x, y, x’ et y’  des réels tels que :

 z ' différent de - i. On se place dans un repère orthonormé (O ; u ; v ) du plan

 

Exprimer x’ et y’ en fonction de x et y. On montrera en particulier que y’ = (x^2+y^2-2y-3)/(x^2+(y+1)^2)

 

Déterminer l’ensemble E des points M (x;y) du plan tels que z’ soit  un imaginaire pur. Représenter l’ensemble E dans le repère (O ; u ; v)

 

Déterminer l’ensemble F des points M (x;y) du plan tels que z’ soit  un réel. Représenter l’ensemble Fdans le repère (O ; u ; v )

 

Résoudre l’équation f(z) = 1.

 

 Soit  K (2 ; 1 ). Justifier sans calcul que K appartient F.