Réponse :
Explications étape par étape :
■ 5 points seulement --> T ' es radin ? ☺
■ z² + z - 1 = 0 donne avec z = a + ib
(a²-b²+ a - 1) + (2ab+b)i = 0
donc a²-b²+a-1 = 0 et b(2a+1) = 0
■ cas b = 0 :
a²+a-1 = 0 --> a ≈ 0,618 ou a ≈ -1,618 .
z1 = 0,5(√5 - 1) ≈ 0,618
z2 = -0,5(√5 + 1) ≈ -1,618
■ cas a = -0,5 :
0,25 - b² - 0,5 - 1 = 0 --> b² = -1,25 ( impossible ! )
■ 1b) z^5 = 1 donne les solutions :
z1 = e(0) ; z2 = e(2iπ/5) ; z3 = e(4iπ/5) ;
z4 = e(6iπ/5) ; z5 = e(8iπ/5) .
polygone = pentagone !
■ 2a) z1 + z2 + z3 + z4 + z5 = 0 donne bien
1 + w + w² + w³ + w^4 = 0 .
■ 2b) w³ est associé à l' angle 216°
w²* est associé à l' angle -144°
on a donc bien w³ = w²*
w^4 est associé à l' angle 288°
w* est associé à l' angle -72°
on a donc bien w^4 = w* .
■ 3a) 1 + w + w² + w²* + w* = 0 donne
1 + (w+w*) + (w²+w²*) = 0
1 + 2cos72° + 2cos144° = 0
0,5 + cos72° + cos144° = 0
vérifié donc w+w* est bien solution !
■ 3b) cos(2π/5) = cos72° = 0,25(√5 - 1) ≈ 0,309
sin(2π/5) = sin72° = √[(5+√5)/8] ≈ 0,951
