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Bonjours pourriez vous m’aider svp

Dans un repère orthonormé du plan, on considère les points :
A(2 ; 5), B(−2 ; 1) et C(6 ; −1).
On note H(x ; y) le projeté orthogonal du point C sur la droite (AB).
1) Faire une figure.
2) Sachant que les points A, H et B sont alignés, démontrer que y = x+ 3.
Indication : Utiliser la colinéarité de deux vecteurs.
3) a)Exprimer AH2 enfonctiondeetdepuis,sachantque=+3,
démontrer que AH2 = 2x2 − 8x + 8.
b) Exprimer CH2 en fonction de x et de y puis exprimer CH2 en fonction de x.
c) En utilisant la nature du triangle AHC, démontrer que l’on a :
4x2 − 12x + 8 = 0.
4) Démontrer que le triangle ABC n’est pas rectangle. Cela permet d’en déduire que le point H est distinct des points A et B.

5) Développer l’expression (4x − 8)(x − 1) et en déduire les solutions de l’équation 4x2 − 12x + 8 = 0.
6) En utilisant les résultats des questions 2), 4) et 5), en déduire les coordonnées du point H.
7) L’aire du triangle ABC est-elle entière ? Justifier votre réponse.

Sagot :

Réponse :

Bonjour, pour moi  cet exercice est une "usine à gaz". Le but est de déterminer l'aire du triangle ABC donc le produit AB*CH/2

Explications étape par étape

Les droites (AB) et (CH) sont perpendiculaires par définition car H est le projeté orthogonal de C sur (AB)

équation de la droite  (AB) y=ax+b avec a=(yB-yA) /(xB-xA)=1

elle passe par A donc 5=2+b soit b=3

équation de (AB) y=x+3

équation de la droite (CH) y=a'x+b'

Elle est perpendiculaire à (AB) donc a'=-1 (car le produit des coefficients directeurs de 2 droites perpendiculaires =-1)

elle passe par C donc -1=-1(6)+b'  donc b'=5

équation de (CH)  y=-x+5

Coordonnées de H

xH est la solution de x+3=-x+5    soit xH=1

et yH=-1+5=4

coordonnées de H(1; 4)

Il reste à calculer les longueurs des segments AB et CH

AB=V[(xB-xA)²+(yB-yA)²]=4V2

CH=V[(xH-xC)²+(yH-yC)²]=5V2

aire ABC=(4V2* 5V2)/2=20 u.a.  c'est une valeur entière.

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