Réponse :
f) existent-ils des points de la courbe Cf en lesquels la tangente est parallèle à la droite d'équation y = - x + 5 ?
f '(x) = (x² + 2 x - 3)/(x + 1)²
soit M(a ; f(a)) tel que f '(a) = (a² + 2 a - 3)/(a+1)²
la tangente est // à la droite d'équation y = - x + 5 signifie que f '(a) = - 1
(a² + 2 a - 3)/(a+1)² = - 1 ⇔ a² + 2 a - 3 = - (a + 1)²
⇔ a² + 2 a - 3 = - (a² + 2 a + 1) ⇔ a² + 2 a - 3 = - a² - 2 a - 1
⇔ 2 a² + 4 a - 2 = 0 ⇔ 2(a² + 2 a - 1) = 0
Δ = 4 + 4 = 8 ⇒ √8 = 2√2
a1 = - 2+2√2)/2 = - 1 + √2
⇒ f(a1) = f(-1+√2) = ((-1+√2)² + 7(-1+√2) + 10)/(-1+√2)+ 1
= ((1 - 2√2 + 2) - 7 + 7√2 + 10))/√2
= (6 + 5√2)/√2 = √2(6 + 5√2)/2 = (6√2 + 10)/2
= 3√(2) + 5
le point de la courbe Cf est de coordonnées (-1+√2 ; 5+3√2)
a2 = - 2 - 2√2)/2 = - 1-√2
⇒ f(a2) = f(-1-√2) = (1+2√2 + 2) + 7(-1-√2) + 10/((-1-√2) + 1)
= (3+2√2 - 7 - 7√2 + 10)/-√2
= -√2(6-5√2)/2
= (- 6√2 + 10)/2
= 5 - 3√2
les coordonnées du point de Cf sont : (-1-√2 ; 5 - 3√2)
Explications étape par étape