Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
Tu mets les flèches sur les vecteurs dans ce que j'écris :
AB.EG=AB(AG-AE)=AB.AG-AB.AE
Mais :
AB.AG=||AB|| x ||AG|| x cos (CAB) avec ^CAB=60° et cos 60°=1/2 donc :
AB.AG=a x 2a/3 x 1/2=a²/3
AB.AE=a x a/3=a²/3
Donc :
AB.EG=a²/3-a²/3=0( vecteur nul).
Ce qui prouve que les vecteurs AB et EG sont orthogonaux.
Donc le triangle AEG est rectangle en E.
2)
On calcule :
a)
BC.FE=BC(BE-BF)=BC.BE-BC.BF
Mais BC.BE=a x 2a/3 x 1/2=a²/3
Et BC.BF=a x a/3=a²/3
Donc :
BC.FE=a²/3-a²/3=0
Ce qui prouve que les vecteurs BC et FE sont orthogonaux.
Donc le triangle BFE est recangle en F.
b)
CA.GF=CA(CF-CG)=CA.CF-CA.CG
Mais CA.CF=a x 2a/3 x 1/2=a²/3
Et CA.CG=a x a/3=a²/3
Donc :
CA.GF=a²/3-a²/3=0
Ce qui prouve que les vecteurs CA et GF sont orthogonaux.
Donc le triangle FGC est recangle en G.
4)
Dans le triangle AEG :
^AEG=90° et ^EAG=60°.
Donc :
^EGA=180-90-60=30°
Et : ^CGF=90°
Mais :
^EGF=180°-^EGA-^CGF donc :
^EGF=180-30-90
^EGF=60°
On montrerait de la même manière que :
^EFG=60°
Le triangle EFG ayant 2 angles égaux à 60° est équilatéral.
