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aidez moi svp j'y arrive pas

Soit ABC est un triangle. Les points M, N et P sont tels que :
AM=3/2AC AN=3/4AB et BP=1/2BC

On souhaite démontrer de deux façons différentes que les points M, N et P sont alignés.
1) a. Décomposer les vecteurs MN et NP en fonction de AB et AC.
b. En déduire que les points M, N et P sont alignés.

Sagot :

jpmorin3

bjr

AM = 3/2 AC ; AN = 3/4 AB et BP = 1/2 BC

on utilise la relation de Chasles pour faire apparaître les vecteurs AB et AC

vecteur MN :

MN = MA + AN = -AM + AN = -3/2 AC + 3/4 AB

                                             = 3/4 AB - 3/2 AC    (1)

vecteur NP :

NP = NA + AB + BP

     = -AN + AB + BP

     = -3/4 AB + AB + 1/2 BC

     =           1/4 AB   + 1/2(BA + AC)

     = 1/4 AB + 1/2 BA + 1/ AC

     = 1/4 AB - 1/2 AB + 1/2 AC

     = -1/4 AB + 1/2 AC   (2)

NP = -1/4 AB + 1/2 AC   (2)

et

MN = 3/4 AB - 3/2 AC  (1)

MN = 3/4 AB - 3/2 AC = -3( -1/4 AB + 1/2 AC) = -3 NP

MN = - 3 NP

le vecteur MN est le produit du vecteur NP par le réel -3. Ces deux vecteurs

sont colinéaires, les droites MN et NP ont la même direction

Comme elles ont en commun le point N elles sont confondues

M, N et P sont alignés

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