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Problème de synthèse

 

Connaissances mies en oeuvre : égalité de pythagore, parallélogrammes particuliers, théorème de thalès et sa réciproque

 

ABC est un triangle tel que AB = 4,2 cm, AC = 5,6 cm et BC = 7 cm

On a M appartient à [BC] P appartient à [BA] Q appartient à [AC]

On veut connaître la position du point M sur le segment [BC] pour que l'aire du quadrilatère APMQ soit maximale.

 

PARTIE A

 

1) Justifier que le triangle ABC est rectangle.

2) En déduire la nature du quadrilatère APMQ.

 

PARTIE B Dans cette partie, on suppose que BM = 2,5 cm.

1) Calculer les longueurs BP et PM.

2) Calculer l'aire du rectangle APMQ.

 

PARTIE C

 

Dans cette partie on note x la longueur BM en centimètres.

 

1)a) Expliquer pourquoi 0 < ou égal x < ou égal 7

   b) Quelle est l'aire du rectangle APMQ lorsque x=0? lorsque x=7?

2)a) Exprimer en fonction de x les longueurs BP et PM

   b) En déduire en fonction de x la longueur AP.

3)a) Pour quelle valeur de x le rectangle APMQ est-il un carré

   b) Construire en vraie grandeur la figure correspondant à ce cas.

4) On note A(x) l'aire du rectangle APMQ exprimée en centimètres carrés. Justifier que A(x) = 3,36x - 0,48x²

 

J'ai réussi la PARTIE A et B, il fallait utiliser la réciproque de pythagore et le théorème de thalès mais je bloque à la PARTIE C, c'est très urgent, je dois rendre ce devoir demain première heure !

Sagot :

4,2 5,6 et 7 sont 3, 4 et 5 fois le nombre 1,4 : ce triangle est donc rectangle car 1,4 fois le "triangle du maçon" connu pour etre rectangle puisque 3²+4²=5²

 

APMQ est donc un rectangle

 

si BM=x alors MQ/4,2=(7-x)/7 donne MQ=0,6(7-x) et MP/5,6=x/7 donne MP=0,8x

 

x ne peut dépasser 7 car M est entre B et C

 

APMQ est carré ssi 0,8x=4,2-0,6x soit 1,4x=4,2 x=3 alors MQ=MP=0,6*4=0,8*3

 

A(x)=0,8x(4,2-0,6x)=-0,48x²+3,36x

 

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