Réponse:
Bonjour,
Cet exercice n'est pas simple quand on ne l'a jamais vu mais il est extrêmement classique.
1)a) Il s'agit ici de démontrer ce que l'on appelle une inégalité de convexité. La méthode et toujours la même.
Indication : Posez f(x) = exp(x)-x-1 puis dérivation tableau de variation pour démontrer que l'on a toujours f(x)>0.
1)b) Simple (en remplaçant x par -x)
2. Voici une nouvelle inégalité de convexité. La méthode est la même qu'en 1.a. mais le résultat n'est valable que sur portion du tableau de variation telle que x<1.
3.a. Je propose une méthode mais je trouve cette question vraiment dur pour un niveau tel que le votre.
On passe au ln : ln((1+1/n)^n)= nln(1+1/n)<nln(exp(1/n)) d'après [1]. Et on aboutit à ce que l'on veut. Je passe sous silence différentes justif, pas évidentes d'où le fait que je trouve cette question étrange.
b. Même principe.
4.a. et b. Pour le coup, c'est plus simple par application des questions précédentes et application du théorème d'encadrement !
Pour votre culture, cet exercice est difficile puisqu'il introduit implicitement une notion essentiel des maths (et donc de la physique) : les développement limités.
En effet, l'utilisation des DL simplifie grandement le calcul et permet d'aboutir au résultat en 1 ligne !
Bon courage,
Toxing.
