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Maths ! Bonjour j'ai besoin de votre aide j'ai passé des heures à essayer de comprendre mais je n'arrive vraiment pas à faire ce DM. Aidez moi svpppp !

Exercice 9
Soit fla fonction définie sur ]0;14[ par f(x)=2 - In(x/2).
La courbe représentative C, de la fonction f est donnée dans le repère orthogonal
d'origine O ci-contre.
À tout point M appartenant à Cf, on associe le point P projeté de M sur l'axe
des abscisses, et le point Q projeté orthogonal de M sur l'axe des ordonnées.
1. Montrer que la fonction g:x-2x - xIn(x/2) modélise l'aire du rectangle OPMQ.
2
2. Dresser le tableau de variations de g sur ]0; 14.
En déduire les coordonnées du point M pour lesquelles l'aire du rectangle OPMQ
est maximale.
On admettra que lim g(x)=0.

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

L' Aire maxi du rectangle est obtenue  

                            ici pour x = 2e ≈ 5,44

Explications étape par étape :

■ f(x) = 2 - Ln(x/2) sur ] 0 ; 14 [

■ M a pour coordonnées ( x ; 2 - Ln(x/2) )

  P a pour coord ( x ; 0 )

  Q a pour coord ( 0 ; 2 - Ln(x/2) )

■ Aire du rectangle OPMQ :

  x * [ 2 - Ln(x/2) ] = 2x - x*Ln(x/2) .

■ g(x) = 2x - x Ln(x/2) sur ] 0 ; 14 [

   dérivée g ' (x) = 2 - Ln(x/2) - 1

                          = 1 - Ln(x/2)

   cette dérivée est nulle pour Ln(x/2) = 1

                                                       (x/2) = e

                                                            x = 2e

                                                            x ≈ 5,43656 .

   g est donc croissante pour 0 < x < 2e .

■ tableau :

   x --> 0       1        3         5     5,43656      6     10        14

varia ->║           croissante             |       décroissante  

g(x) --> ║    2,7    4,8      5,4    5,43656    5,4    3,9      0,8

■ conclusion :

   L' Aire maxi du rectangle est obtenue  

   ici pour x = 2e ≈ 5,44 .

■ vérif :

  x = 2e donne f(2e) = 2 - 1 = 1

  Aire = 2e * 1 = 2e

  ou Aire = g(2e) = 4e - 2e = 2e .

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