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f est définie par f(x)=2x+4/x-1 et C sa courbe représentative.

 

1. sur quel ensemble Df est définie la fonction f ?

2. Montrer que pour tout x de Df, on a : f(x)=2+ 6/x-1

3. A l'aide d'un tableau de valeur, représenter C et D la droite d'équation y=x

4. Par lecture graphique, conjecturer les valeurs de x pour lesquelles C est en dessous de D.

5. Vérifier que pour tout x de Df : 2x+4/x-1 - x= (x+1)(4-x) / x-1

6. Etudier le signe de (x+1)(4-x) / x-1

7. valider la conjecture émise à la question 4.

 

Aidez moi s'il vous plait ! .. Je ne m'en sort pas..  

Sagot :

Aeneas

1. f est définie sur R\{1}

 

2.On a f(x) = (2x+4)/(x-1) = [2x/(x-1)] + 4/(x-1) = [(2(x-1)+2)/(x-1)] + 4/(x-1)

Donc f(x) = [2(x-1)/(x-1)] + [2/(x-1)] + 4/(x-1) = 2 + (6/(x-1))

 

3. Calculatrice graphique.

 

4. lecture graphique : C est en dessous de D sur ]-1,1] U [4,+inf[

 

5. On a [(2x+4)/(x-1)] - x = [(2x+4)/(x-1)] - [x(x-1)/(x-1)] = [(2x+4-x(x-1))/(x-1)]

= (-x²+3x+4)/(x-1) Or, (x+1)(4-x)=-x²+3x+4. On a bien l'égalité.

 

6. (x+1)(4-x) /( x-1) est positif sur ]-inf,-1]U]1,4] et négatif sur ]-1,1]U[4,+inf[

 

7. On a f(x)<x sur ]-1,1]U[4,+inf[. On valide bien la conjecture en 4.

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