Bjr,
a) pour x <0 f est composée et fraction de fonctions continues donc elle est continue, de même pour x>0
f(0)=1
il s'agit de montrer que la limite de f(x) quand x tend vers 0 existe et est bien égal à f(0)=1
la limite à gauche en 0 est la limite, si elle existe, de
[tex]\dfrac{sin(ax)}{x}=a\dfrac{sin(ax)}{ax}\rightarrow a[/tex]
Nous devons avoir a = 1
La limte à droite en 0 est la limite de
[tex]e^{bx}-x\rightarrow 1[/tex]
pour a = 1 la limite de f en 0 à gauche est égale à la limite de f en 0 à droite qui est aussi égale à f(0)
En conclusion, f est continue sur IR pour (a,b) tel que a=1, b quelconque
2)
notons
[tex]g(x)=xcosx-sinx\\\\g(0)=0\\\\h(x)=x^2\\\\h(0)=0[/tex]
[tex]g'(x)/h'(x)=\dfrac{cosx-xsinx-cosx}{2x}=\dfrac{-xsinx}{2x}\\\\=-\dfrac{sinx}{2}\rightarrow 0[/tex]
Donc avec la regle de l'Hopital la limite est 0
c)
f est dérivable sur x < 0 et
[tex]f'(x)=\dfrac{axcosx-sin(ax)}{x^2}[/tex]
Mais bon on peut prendre a = 1 car si a est différent de 1, f n'est même pas continue donc encore moins dérviable et la limite de f'(x) quand x tend vers 0 est alors la limite du b) qui est 0
nous devons avoir f'(0)=0
f est dérivable sur x > 0 et
[tex]f'(x)=be^{bx}-1\rightarrow b-1[/tex]
pour avoir b-1=0 cela donne b=1
donc le couple recherché est (1,1) tel que f est de classe C1, car sa dérivée existe sur IR et est continue
Merci
