Réponse :
Bonjour,
Explications étape par étape
Exo 1 :
1)
vect AB(-4-5;-1-(-3)) ==>AB(-9;2)
vect AC(-1-5;3-(-3))==>AC(-6;6)
Mesure AB=√(81+4)=√85
Mesure AC=√(36+36)=√72=√(36*2)=6√2
2)
Soit u(x;y) et v(x';y'), alors :
u.v=xx'+yy'
Donc :
Scalaire AB.AC=(-9)(-6)+(2)(6)=66
3)
H est le projeté orthogonal de C sur (AB) donc on sait que :
scalaire AB.AC=AB.AH
Donc :
scalaire AB.AH=66
Donc :
√85 x mesure AH=66
Mesure AH=66/√85 ≈ 7.2 mm
On sait aussi que :
scalaire AB.AC=||AB|| x ||AC|| x cos BAC
√85 x 6√2 x cos BAC=66
cos BAC=66/(√85 x 6√2 )
La calculatrice donne :
^BAC ≈ 32.5°
4)
Pythagore dans CHA rectangle en H :
CA²=CH²+AH²
CH²=72-7.2²=20.16
CH ≈ 4.5 cm
Aire ABC=AB x CH/2=√85 x 4.5/2 ≈ 21 cm²
Exo 2 :
1)
a)
Mesure BC= mesure BE=1
Angle CBE=90-60=30°
Scalaire BC.BE=1 x 1 x cos 30°=(√3)/2
vect DA=-BC
Donc :
Scalaire DA.BE=-(√3)/2
b)
scalaire EA.EB=1 x 1 x cos 60°=1/2
c)
BC=BG=1 donc le triangle BCG est isocèle en B.
^CBg=^EBG-^EBC=90-30=60°
Le triangle BCG isocèle en B avec un angle au sommet de 60° a ses angles à la base égaux à 60° et est donc équilatéral.
scalaire BC.BG=1 x 1 x cos 60°=1/2
Mais vect DA=-BC et vect EF=BG
Donc :
scalaire DA.EF=-1/2
d)
Il faut prolonger [AE] au-delà de E pour voir l'angle dont on a besoin entre les vect AE et EF.
scalaire AE.EF=1 x 1 x cos (AE,EF)=1 x 1 x cos 30°=(√3)/2
2)
a)
DE.BF=(DA+AE)(BE+EF)
DE.BF=DA.BE+DA.EF+AE.BE+AE.EF
DE.BF=-√3/2-1/2+1/2+√3/2
DE.BF=0
Ce qui prouve que les vecteurs DE et BF sont orthogonaux donc que :
(DE) ⊥ (BF)
Mais dans le carré BEFG , on sait que :
(BF) ⊥ (EG) ==>diagonales du carré.
Donc (EG) et (DE) sont une seule et même droite et :
D, E , G alignés.
