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Bonjour besoin d'aide svp voici la question ci-dessous

Exo : Soit f la fonction définie sur R par f(x)=In (1 +e^x) et Cf,
sa courbe représentative dans un repère.
1. a. Étudier les limites de f en –oo et en +oo.
b. La courbe Cf admet-elle une asymptote horizontale ?
2. Dresser le tableau de variation de f.
3. Démontrer que l'équation f(x)=m admet une unique
solution pour tout réel m strictement positif.
4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe Cf
au point d'abscisse 0.
5. Démontrer que la courbe Cf est située au-dessus de la droite d d'équation y=x.
6. Construire la courbe Cf, et les droites T et d.​

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape :

f(x) = Ln (1 + e^x) sur IR

■ Lim f(x) pour x --> -∞ :

  Lim f(x) = Lim Ln1 = 0

  la courbe admet une asymptote horizontale

à gauche (confondue avec l' axe des abscisses)

■ Lim f(x) pour x --> +∞ :

   Lim f(x) = Lim Ln(e^x) = Lim x = +∞

   la courbe admet une asymptote oblique

   à droite d' équation ( y = x )

■ dérivée f ' (x) :

   f ' (x) = (e^x) / (1 + e^x) toujours positive !

■ tableau :

  x --> -∞         -1          0             10              +∞

variation ->             croissante

f(x) --> 0        0,3       Ln2           10              +∞

■ f(x) = m positif admet bien une solution UNIQUE

puisque la fonction f est STRICTEMENT croissante sur IR .  

■ Tangente au point (0 ; Ln2) :

  f ' (0) = 1/2 = 0,5

  donc l' équation de la Tangente est :

  y = 0,5x + Ln2 .

  qui passe par les points (0;Ln2) et (10 ; 5,7)

■ courbe Cf au-dessus de la droite ( y = x ) ?

  f(x) > x donne Ln (1 + e^x) > x

                                1 + e^x > e^x

                                         1 > 0

  cette inégalité est toujours vraie

 donc Cf est bien au-dessus de la droite ( y = x ) .

■ remarque pour x = 25,5 :

   f(25,5) ≈ 25,5

Réponse :

bonne soirée

Explications étape par étape

View image danielwenin
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