Réponse :
soit f la fonction définie sur R \ {3} par f(x) = - x/(x - 3)
1) en utilisant le graphique précédent, résoudre :
a) f(x) ≤ 1 donc l'ensemble des solutions S = ]- ∞ ; 1.5]U]3 ; + ∞[
b) f(x) > - x ⇔ S = ]0 ; 3[U]4 ; + ∞[
2) résoudre ces équations par le calcul
f(x) ≤ 1 ⇔ - x/(x-3) ≤ 1 ⇔ - x/(x-3) - 1 ≤ 0 ⇔ (- x - (x - 3))/(x - 3) ≤ 0
⇔ (- 2 x + 3)/(x - 3) ≤ 0
Tableau de signes
x - ∞ 3/2 3 + ∞
- 2 x+3 + 0 - -
x-3 - - || +
Q - 0 + || -
l'ensemble des solutions est : S = ]- ∞ ; 3/2]U]3 ; + ∞[
b) f(x) > - x ⇔ - x/(x-3) > - x ⇔ - x/(x-3) + x > 0 ⇔ (- x + x(x - 3))/(x - 3) > 0
⇔ (x² - 4 x)/(x - 3) > 0 ⇔ x(x - 4)/(x - 3) > 0
tableau de signes
x - ∞ 0 3 4 + ∞
x - 0 + + +
x - 4 - - - 0 +
x - 3 - - || + +
Q - 0 + || - 0 +
L'ensemble des solutions est : S = ]0 ; 3[U]4 ; + ∞[
Explications étape par étape