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m’aider à résoudre cet exercice :
f est la fonction définie sur ]0 ; +∞[ par :
f(x) = x²(ln(x)-1/2).
Manon conjecture que la fonction f admet un minimum égal à -0,5
a) justifier que pour tout réel x>0, f’(x)=2xln(x).
b) étudier le signe de f’(x).
c) valider ou invalider la conjecture faite par Manon.

Sagot :

Réponse :

Explications étape par étape

f(x)=-x²/2+x²lnx

f'(x)=-x+2xlnx+x²*(1/x)=2xlnx réponse donnée dans l'énoncé

comme x>0 le signe de cette dérivée dépend du signe de lnx

f'(x)=0 pour x=1

Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x   0                              1                          +oo

f'(x)          -                      0         +              

f(x) II0-.....décroi.............f(1).........croi...........+oo  

f(x) est minimale pour x=1  et f(1)=1*(-1/2)=-1/2

Conjecture vérifiée .

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