Bjr,
pour faire suite aux commentaires, on a
[tex]\displaystyle E(Y_N|X=0)=\sum_{k=0}^{N-5} kP_{X=0}(Y_N=k)\\\\=\sum_{k=0}^{N-5} kP(Y_{N-1}=k-1)\\\\=\sum_{k=1}^{N-5} kP(Y_{N-1}=k-1)\\\\=\sum_{p=0}^{N-6} (p+1)P(Y_{N-1}=p)\\\\=\sum_{p=0}^{(N-1)-5} P(Y_{N-1}=p)+\sum_{p=0}^{(N-1)-5} pP(Y_{N-1}=p)\\\\=1+E(Y_{N-1})[/tex]
l'indice de sommation est une variable muette, j'ai remplacé k par p tel que p+1=k <=> k-1=p
quand k varie de 1 à N-5, p varie de 0 à N-6 qui peut s'écrire aussi (N-1)-5
donc la somme des
[tex]\displaystyle \sum_{p=0}^{(N-1)-5} P(Y_{N-1}=p)[/tex]
est en fait 1, par définition comme les valeurs possibles pour
[tex]Y_{N-1}[/tex] sont 0, 1, 2, ... , (N-1)-5
6,
[tex]\displaystyle E(Y_N)=\sum_{k=0}^{N-5} kP(Y_N=k)\\\\=\sum_{k=0}^{N-5} k(P(Y_N=k \ et \ X=0) +P(Y_N=k \ et \ X=1))\\\\=\sum_{k=0}^{N-5} k(P(X=0)P_{X=0}(Y_N=k) +P(X=1)P_{X=1}(Y_N=k))\\\\=\sum_{k=0}^{N-5} k(P(X=0)P_{X=0}(Y_N=k) +\sum_{k=0}^{N-5}kP(X=1)P_{X=1}(Y_N=k))\\\\=P(X=0)E(Y_N|X=0)+P(X=1)E(Y_N|X=1)[/tex]
7. On applique la formule précédente, comme le deuxieme terme est nulle (voire question 3) et que P(X=0)=(N-5)/N il vient
[tex]\displaystyle E(Y_N)=E(Y_N|X=0)\dfrac{N-5}{N}[/tex]
et en appliquant le 5.
[tex]\displaystyle E(Y_N)=(1+E(Y_{N-1}))\dfrac{N-5}{N}[/tex]
8. les premiers termes sont
0. 1/6, 1/3, 1/2, etc
ça ressemble à une suite arithmétique de raison 1/6 et de premier terme 0
9.
Montrons par récurrence que pour tout n entier supérieur à 5
[tex]E(Y_N)=\dfrac{N-5}{6}[/tex]
Initialisation
C'est vrai au rang N=5
[tex]E(Y_5)=0=\dfrac{5-5}{6}[/tex]
Hérédité
Supposons que cela soit vrai au rang p >5
[tex]E(Y_p)=\dfrac{p-5}{6}[/tex]
Et montrons que cela reste vrai au rang p+1
[tex]E(Y_{p+1})=\dfrac{p-4}{6}[/tex]
Comme
[tex]\displaystyle E(Y_{p+1})=(1+E(Y_{p}))\dfrac{p-4}{p+1}[/tex], nous utilisons l'hypothèse de récurrence pour trouver que
[tex]\displaystyle E(Y_{p+1})=(1+E(Y_{p}))\dfrac{p-4}{p+1}=(1+\dfrac{p-5}{6})\dfrac{p-4}{p}\\\\=\dfrac{(6+p-5)(p-4)}{6(p+1)}\\\\=\dfrac{(p+1)(p-4)}{6(p+1)}\\\\=\dfrac{p-4}{6}[/tex]
donc si on suppose que c'est vrai au rang p, cela reste vrai au rang p+1
Conclusion
Nous venons de montrer par récurrence que pour tout n entier supérieur à 5
[tex]E(Y_N)=\dfrac{N-5}{6}[/tex]
Merci
