Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
1)
a)
On va utiliser plusieurs fois la relation de Chasles. Je parle en vecteurs(sauf si je mets des (..). Alors je parle de droites).
Tu mets les flèches sur les vecteurs.
OH=OA+OB+OC donne :
==> (OA+AH)=OA+OB+OC
Les OA s'éliminent.
==> AH=OB+OC
==> AH=(OA'+A'B)+(OA'+A'C)
==> AH=2OA'+A'B+A'C
Comme A' est le milieu de [BC] , alors A'B+A'C=0 ( vect nul)
==> AH=2OA'
b)
Le centre O du cercle circonscrit au triangle ABC est le point d'intersection des médiatrices des côtés de ABC.
Donc :
(OA') ⊥ (BC)
AH=2OA' implique : (AH) // (OA') .
Si 2 droites sont // , toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre .
Donc :
(AH) ⊥ (BC)
qui prouve que H appartient à la hauteur issue de A.
2)
a)
Soit B' le milieu de [AC].
On va montrer que BH=2OB'.
On part de :
OH=OA+OB+OC
==> OB+BH=OA+OB+OC
Les OB s'éliminent.
BH=OA+OC
BH=OB'+B'A+OB'+B'C
Comme B' est le milieu de [AC] , alors B'A+B'C=0 ( vect nul) donc :
BH=2OB' qui donne (BH) // (OB')
(OB') est une médiatrice donc :
(OB') ⊥ (AC)
Comme (BH) // (OB') alors :
(BH) ⊥ (AC)
qui prouve que H appartient à la hauteur issue de B.
Soit C' le milieu de [BA].
On va montrer que CH=2OC'
On part de :
OH=OA+OB+OC
==> OC+CH=OA+OB+OC
Les OC s'éliminent.
CH=OA+OB
CH=OC'+C'A+OC'+C'B
Comme C' est le milieu de [AB] , alors C'A+C'B=0 ( vect nul) donc :
CH=2OC' qui donne (CH) // (OC')
(OC') est une médiatrice donc :
(OC') ⊥ (AB)
Comme (CH) // (OC') alors :
(CH) ⊥ (AB)
qui prouve que H appartient à la hauteur issue de C.
b)
On vient de montrer que les 3 hauteurs du triangle ABC sont concourantes au point H , appelé orthocentre du triangle.
3)
a)
Le centre de gravité d'un triangle est le point d'intersection des 3 médianes.
b)
On admet que :
GA+GB+GC=0
c)
On part de :
OH=OA+OB+OC
qui donne :
OH=OG+GA+OG+GB+OG+CG
OH=3OG+GA+GB+GC
Mais d'après 3)b : GA+GB+GC=0 donc :
OH=3OG
d)
OH=3OG donc :
Les vecteurs OH et OG sont colinéaires avec le point O en commun donc :
Les points O , G et H sont alignés.
Théorème :
Dans un triangle , le centre O du cercle circonscrit , le centre de gravité G et l'orthocentre H sont alignés et OG=(1/3)OH.
Voir figure non demandée jointe.
