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Sagot :
Bonjour,
Voici la résolution en détail.
1) Une racine d'un polynôme est un nombre qui annule le polynôme, c'est-a-dire que l'image de ce nombre par la fonction polynôme vaut 0 donc :
[tex]p(a) = -a^3 + (3+a)a^2 - (2+3a)a + 2a = -a^3 + 3a^2 +a^3 - 2a - 3a^2 + 2a = 0[/tex]
donc [tex]a[/tex] est bien une racine du polynôme p
2) Un polynôme se factorise sous la forme :
[tex]p(x) = (x-\alpha_1)(x-\alpha_2) ... (x-\alpha_n)[/tex]
où les [tex]\alpha_i[/tex] sont toutes les racines du polynôme p.
Donc on peut écrire pour factoriser p :
[tex]p(x) = (x-a)Q(x)[/tex]
car [tex]a[/tex] est une racine de p. Il faut maintenant déterminer [tex]Q(x)[/tex]
p est un polynôme de degré 3 (le degré d'un polynôme est la plus grande puissance de [tex]x[/tex] dans l'expression du polynôme). Sous forme factorisée, le polynôme p est constitué de plusieurs "petits" polynômes de degré inférieur à 3. Il faut savoir que la somme des degrés des petits polynômes est égale au degré de p.
On a [tex](x-a)[/tex] qui est degré 1 donc le degré de [tex]Q(x)[/tex] est 3-1 = 2. On cherche donc [tex]Q(x)[/tex] sous la forme [tex]Q(x) = ux^2 + vx + w[/tex] où [tex]u,v,w[/tex] sont des constantes à déterminer. On a alors :
[tex]p(x) = (x-a)Q(x) = (x-a)(ux^2+vx+w)[/tex]
On développe on trouve :
[tex]p(x) = ux^3 +vx^2 +wx - uax^2 - vax - wa[/tex]
On factorise ensemble les éléments avec la même puissance :
[tex]p(x) = ux^3 + (v - ua)x^2 + (w -va)x + wa[/tex]
Mais on sait que p vaut aussi [tex]p(x) = -x^3 + (3+a)x^2 -(2 +3a)x + 2a[/tex]
donc on a l'égalité suivante :
[tex]-x^3 + (3+a)x^2 -(2 +3a)x + 2a = ux^3 + (v - ua)x^2 + (w -va)x - wa[/tex]
On identifie les coefficients devant les [tex]x^n[/tex], on a :
[tex]u = - 1[/tex]
[tex]v - ua = 3 + a[/tex]
[tex]w - va = -2-3a[/tex]
[tex]wa = 2a[/tex]
On résout le système d'équation, on trouve
[tex]u = - 1[/tex]
[tex]v = 3 + a + ua = 3 + a - a = 3[/tex]
[tex]w = - 2 - 3a + va = -2 - 3a + 3a = -2[/tex]
[tex]w = \frac{-2a}{a} = -2[/tex]
Donc finalement, [tex]Q(x) = -x^2 + 3x -2[/tex]
3) [tex]Q(x)[/tex] est un polynôme du second degré, le signe du coefficient devant le terme en [tex]x^2[/tex] détermine la forme de sa courbe représentative, ce coefficient est négatif donc [tex]Q(x)[/tex] à une forme en "pont".
Pour déterminer le signe, on doit trouver les racines de [tex]Q(x)[/tex], on peut alors soit calculer le discriminant et en déduire les racines ou bien remarquer que 1 est racine évidente de [tex]Q(x)[/tex] qui se factorise alors sous la forme :
[tex]Q(x) = (x-1)S(x)[/tex]
et pour les mêmes raisons que lorsqu'on a factorisé p(x), on sait que [tex]S(x)[/tex] est un polynôme de degré 1 donc de la forme [tex]ax + b[/tex] où la encore [tex]a[/tex] et [tex]b[/tex] sont des constantes à déterminer. On fait exactement pareil que pour les coefficients [tex]u,v[/tex] et [tex]w[/tex] de [tex]Q(x)[/tex].
[tex]Q(x) = (x-1)S(x) = (x-1)(ax+b) = ax^2 +bx - ax - b = ax^2 + (b-a)x - b[/tex]
On trouve par identification :
[tex]a = -1[/tex]
[tex]b = 2[/tex]
donc [tex]Q(x) = -(x-1)(x-2)[/tex]
donc 1 et 2 sont les racines de Q.
On en déduit que le polynôme Q est négatif sur [tex]]-\infty, 1[\cup]2, +\infty[[/tex] et positif sur [tex]]1,2[[/tex].
4) Comme [tex]Q(a) > 0[/tex], on en déduit que [tex]a \in ]1,2[[/tex] (c'est-a-dire [tex]1 < a < 2[/tex]) donc en faisant un tableau de signe, on trouve que p(x) est strictement positif sur [tex]]-\infty, 1[\cup]a,2[[/tex].
Voila pour ton exercice, c'est un peu long, mais tout est expliqué étape par étape, n'hésite pas à noter ma correction de l'exercice.
Cordialement,
HR
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