Réponse :
Explications étape par étape
Bonsoir, ton équation est atypique, tu es certaine que le 2nd terme correspond bien à Rac(x) ? Il serait plus cohérent que ce soit x seulement, mais admettons.
En premier lieu, cette équation admet au maximum 2 solutions, puisque le degré dominant vaut 2. En outre, le domaine de définition de cette équation est [0 ; +infini[.
En outre, posons f(x) = x² - Rac(x) - 14, on aura lim f(x) = + infini lorsque x tend vers l'infini, et f(0) = -14.
Cela signifie qu'en vertu du théorème des valeurs intermédiaires, f s'annule au moins une fois sur [0 ; +infini[.
Dérivons la fonction f sur ]0 ; +infini[ (car la fonction Rac(x) n'est pas dérivable en 0) :
f'(x) = 2x - (1/(2*Rac(x))) = [ (4*x*Rac(x) - 1) / 2*Rac(x)].
3 cas possibles :
1- f'(x) = 0 <==> 4*x*Rac(x) = 1 <==> x*Rac(x) = 1/4 <==> Rac(x^3) = 1/4 <==> x^3 = 1/16 (équivalence car on étudie la fonction sur ] 0 ; +infini[ ).
Par stricte croissance de la fonction cube sur cet intervalle, une unique solution, x = 16^(-1/3).
2- Forcément, f'(x) > 0 <==> x € ]16^(-1/3) ; +infini[, et f'(x) < 0 <==> x € ]0 ; 16^(-1/3)[.
Conclusion : f strictement décroissante sur ]0 ; 16^(-1/3)[, et strictement croissante sur ]16^(-1/3) ; +infini[.
Ensuite, 4 est une racine évidente de l'équation, autrement dit, f(4) = 0.
16^(-1/3) vaut environ 2,52 < 4. Il est alors aisé de conclure que cette équation n'admet qu'une seule et unique solution, en vertu du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, qui vaut 4.
