Réponse :
le minimum de carton sera pour un colis de
Longueur 30 cm, de largeur 15 cm,
et de hauteur 20 cm
Explications étape par étape :
■ largeur = Longueur/2 ;
Volume = 9000 cm³ = 9 dm³ .
■ Volume pavé = L x L/2 x hauteur = 9000
L² x hauteur = 18000
■ étude de la fonction h(L) = 18000/L²
Longueur --> 10 20 30 40 50 60 cm
largeur --> 5 10 15 20 25 30 cm
hauteur --> 180 45 20 11,25 7,2 5 cm
Volume --> 9000 cm³ = 9 dm³ = 9 Litres !
■ Surface TOTALE de carton :
2x(Lxlargeur + Lxh + largeurxh)
= 2x(L²/2 + Lxh + 0,5xLxh)
= 2x(0,5L² + 1,5xLxh)
= L² + 3xLxh or h = 18000/L²
donc Stotale = L² + 54000/L
■ étude de la fonction S(L) = L² + 54000/L :
dérivée S ' (L) = 2L - 54000/L²
cette dérivée est nulle pour 2L = 54000/L²
2L³ = 54000
L³ = 27000
L = ∛27000
= 30 cm
■ conclusion :
le minimum de carton sera pour un colis de
Longueur 30 cm, de largeur 15 cm,
et de hauteur 20 cm .
■ vérif :
pour L = 30 cm :
Stotale = 30² + 54000/30 = 900 + 1800
= 2700 cm² = 27 dm² = 0,27 m² .
pour L = 60 cm :
Stotale = 60² + 54000/60 = 3600 + 900
= 4500 cm² .
■ méthode réservée aux génies ☺ :
∛9000 ≈ 20,8 cm --> h = 20 cm
--> L²/2 = 9000/20 = 450
--> L² = 900 --> L = 30 cm
--> largeur = 15 cm !
