Réponse :
Explications étape par étape :
■ f(x) = exp(x) + exp(-2x) sur IR
la représentation graphique sur [ -2 ; +3 ]
■ dérivée f ' (x) = exp(x) - 2exp(-2x)
= exp(-2x) [ exp(3x) - 2 ]
cette dérivée est positive si exp(3x) > 2
3x > Ln2
x > (Ln2)/3
x > 0,231 environ .
■ tableau :
x --> -∞ -2 0 0,231 3 +∞
variation -> décroissante | croissante
f(x) --> +∞ 54,7 2 1,89 20,1 +∞
■ primitive F(x) = exp(x) + c*exp(-2x) :
F ' (x) = f(x) = exp(x) - 2c*exp(-2x) = exp(x) + exp(-2x)
donc c = - 0,5
d' où F(x) = exp(x) - 0,5*exp(-2x) .
■ Aire demandée = exp(1) - 0,5*exp(-2) - exp(0) + 0,5*exp(0)
≈ e - 0,06767 - 1 + 0,5
≈ e - 0,56767
≈ 2,15 unité d' aire !
la précision demandée aurait dû être "à 0,01 près" ! ☺
