Réponse :
f(x) = x³ - 5x² + 5x = x(x² - 5x + 5)
Explications étape par étape :
■ c' est triste cette Famille où
même le Grand-frère ne sait pas faire ! ☺
■ f(x) = ax³ + bx² + cx + d
■ comme A (0;0) appartient à la courbe
--> d = 0 .
■ dérivée f ' (x) = 3ax² + 2bx + c
donc f ' (0) = c ; et f ' (3) = 27a + 6b + c .
■ comme B (3;-3) appartient à la courbe
--> 27a + 9b + 3c = -3
9a + 3b + c = -1 .
■ équation de la tangente (AC) :
y = 5x . D' où c = 5 .
■ équation de la tangente (BD) :
y = 2x - 9 . D' où 27a + 6b + 5 = 2
27a + 6b + 3 = 0
9a + 2b + 1 = 0 .
■ l' équation 9a + 3b + c = -1 devient 9a + 3b + 6 = 0
le système 9a + 3b + 6 = 0 et 9a + 2b + 1 = 0
donne par soustraction : b + 5 = 0
b = - 5 .
■ calcul de a :
9a = - 1 - 2b = -1 + 10 = 9 d' où a = 1 .
■ conclusion :
f(x) = x³ - 5x² + 5x
= x(x² - 5x + 5)
≈ x(x-1,382)(x-3,618) .
■ tableau pour vérifier :
x --> -5 -4 -3 -2 -1 0 0,61 1,38 2,72 3,62 5
varia -> croissante | décroiss | croissante
f(x) --> 0 0 0
