Réponse :
Bonjour, je vais essayer de t'aider au mieux (je ne suis pas forcément doué avec les fonctions trigonométriques)
Explications étape par étape
1)a) On va calculer f(-x):
f(-x)=sin²(-x/2)
f(-x)=[sin(x/2)]²
comme sin (-a)=-sin a donc
f(-x)=[-sin(x/2)]²
comme (-a)²=a² donc
f(-x)=[sin(x/2)]²
f(-x)=sin²(x/2)
f(-x)=f(x) la fonction est donc paire
b) Si f est paire alors sa représentation graphique a un axe de symétrie.
2) Nous allons calculer f(x+2π):
f(x+2π)=sin²(x/2+2π)
f(x+2π)=[sin(x/2+2π)]²
f(x+2π)=[sin(x/2)cos(2π)+sin(2π)cos(x/2)]²
car sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a)
f(x+2π)=[sin(x/2)×1+0×cos(x/2)]² car cos(2π)=1 et sin(2π)=0
f(x+2π)=[sin(x/2)]²
f(x+2π)=sin²(x/2)
f(x+2π)=f(x)⇒CQFD f est donc périodique de période 2π
3) Pour l'intervalle [π;3π], on remarque qu'il est plus étendus de 2π de chaque côté de l'intervalle, il suffit alors de faire une translation à droite et à gauche de la représentation de f sur [-π;π].
Pour l'intervalle [-3π;3π], on constate qu'il est plus étendus de 2×2π à droite et à gauche, il suffira alors de translater 2 fois la représentation de f sur [-π;π].
4) voir pièce jointe
5) On trouve graphiquement 6 solutions dans cette intervalle:
S={-7.85; -4.71; -1.57; 1.57; 4.71; 7.85}
6)a) sin²(x)=1
[sin(x)]²=1
On a alors 2 cas:
sin(x)=sin (π/2)
x=π/2+2kπ avec k∈Z (racine double)
sin(x)=sin(-π/2)
x(1)=-π/2+2kπ ou x(2)=(3π/2)+2kπ (x(2)∉[-π/2;π/2]
Comme nous sommes dans [-π/2;π/2] alors on a:
S={-π/2;π/2]⇒CQFD
b) Si on est dans l'intervalle [-π;π] alors les solutions sont les mêmes car on est en deçà de la période 2π donc:
S={-π/2;π/2}
c) L'intervalle [-3π;3π] contient 3 périodes de la fonction f comme on a 2 solutions sur [-π;π], on n'aura 6 sur [-3π;3π].
On sait que les solutions sont du type:
x=π/2+2kπ
x=-π/2+2kπ ou x=(3π/2)+2kπ avec k ∈ Z
On a donc 3 cas possibles k=-1, k=0, k=1:
- k=0 alors x=π/2 ou x=-π/2 ou x=π-(-π/2)=3π/2
- k=1 alors x=5π/2 ou x=3π/2 ou x=7π/2
- k=-1 alors x=-3π/2 ou x=-5π/2 ou x=-π/2
Si on écarte les redondances et x=7π/2 ∉ [-3π;3π] alors il vient les solution suivantes: S={-5π/2; -3π/2; -π/2; π/2; 3π/2; 5π/2]
