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Bonjour,
j'ai beaucoup de difficultés avec cet exercice.Pourriez-vous m'aidez svp.

f est une fonction définie sur R ne s’annulant jamais sur R et vérifiant, pour tous réels x et y, f(x+y)=f(x)×f(y)?

1. En posant y=0, justifier que f(0)=1?



2. Démontrer que, pour tout réel x, f(2x)=[f(x)] ^2



3. Démontrer que, pour tout réel x, on a f(−x)= 1/f(x)

​

4. Démontrer que, pour tout réel x et y, on a f(x−y)= f(y)/f(x)



Merci beaucoup de m'aider.

Sagot :

greencalogero

Réponse :

Explications étape par étape

1) f(x+y)=f(x)×f(y) avec x=x et y=0 on a:

f(x+0)=f(x)

mais aussi f(x)×f(0)=f(x)

ce qui implique f(0)=1⇒CQFD

2) f(x+y)=f(x)×f(y) avec x=y on a:

f(x+x)=f(x)×f(x)

f(2x)=[f(x)]²⇒CQFD

3) f(x)=f(2x-x)

f(x)=f(2x)×f(-x)

f(-x)=f(x)/f(2x)

f(-x)=f(x)/[f(x)]²

f(-x)=1/f(x)⇒CQFD

4) (je pense que tu t'es trompé(e) en réécrivant l'énoncé)

f(x-y)=f(x)×f(-y)

f(x-y)=f(x)×1/f(y)

f(x-y)=f(x)/f(y)⇒CQFD

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