Réponse :
Bonjour, je vais t'aider à résoudre ce problème.
Explications étape par étape
g: R+*=]0;+∞[⇒R
x⇒-4x³+9x²-7
1) a) Pour étudier les variations, il faut étudier le signe de la dérivée:
g'(x)=(-4x³+9x²-7)'
g'(x)=-3×4x²+2×9x
g'(x)=-12x²+18x
g'(x)=-6x(2x-3)
∀x∈R+*, -6x<0 donc le signe de g' dépends du signe de 2x-3 donc:
2x-3=0⇒x=3/2
On peut donc construire le tableau de variation suivant:
0 3/2 +∞
-6x 0 - -
2x-3 - 0 +
g'(x) 0 + 0 -
g(x) -7 ↑ -1/4 ↓ -∞
Donc g'(x)<0 sur]3/2;+∞[ donc g est décroissante strictement sur cet intervalle.
g'(x)>0 sur ]0;3/2[ donc g est croissante strictement sur cet intervalle.
b) Le tableau de variations montre que g atteint son maximum lorsque g' s'annule donc quand x=3/2 on a alors f(3/2)<0 donc sur R+* on a g(x)<0
2) f: R+*=]0;+∞[⇒R
x⇒(-2/3)x²+3x+7/(3x)
a)
[tex]f'(x)=(\frac{-2x^2}{3}+3x+\frac{7}{3x})'\\f'(x)=-2*\frac{2x}{3} +3-\frac{7}{3x^2}\\f'(x)=\frac{-4x}{3}+3-\frac{7}{3x^2}\\f'(x)=\frac{-4x^3+9x^2-7}{3x^2}\\f'(x)=\frac{g(x)}{3x^2}[/tex]
b) On sait par la question précédente que:
f'(x)=g(x)/3x²
∀ x ∈ R+* (1/(3x^2))>0 donc les variations de f dépendent du signe de g. Comme d'après 1)b), on a g(x)<0 ∀ x ∈ R+* donc on en déduit que f'(x)<0 sur R+* donc f est strictement décroissante sur R+*
