Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
f(x)=(2x+3)³/2x²
f(x) est de la forme u/v.
Mais u=w³ et la dérivée de w³ est : 3w'*w².
Ici w=2x+3 donc w'=2
Donc :
u=(2x+3)³ donne u'=3*2(2x+3)² soit u'=6(2x+3)²
v=2x² donne v'=4x
f '(x)=(u'v-uv')/v²
f '(x)=[6*2x²*(2x+3)²-4x(2x+3)³] / (2x²)²
f ' (x)=[12x²(2x+3)²-4x(2x+3)³ / 4x^4
On va mettre (2x+3)² en facteur au numérateur :
f '(x)={(2x+3)²[12x²-4x(2x+3)] }/ 4x^4
f '(x)=[(2x+3)²(12x²-8x²-12x) ] / 4x^4
f '(x)=[(2x+3)²(4x²-12x)] / 4x^4
f '(x)=[(2x+3)²(4x)(x-3)] / 4x^4
f '(x)=[4x(2x+3)²(x-3)] / 4x^4
Donc f '(x) est du signe de 4x(x-3) car les facteurs (2x+3)² et 4x^4 sont ≥ 0.
Dans le tableau on mettra les valeurs : -3/2 qui donne 2x-3=0 puis 0 et 3.
Si tu as vu les tangentes , tu peux remarquer que pour x=-3/2 et x=3 , on aura une tangente horizontale car pour ces deux valeurs f '(x)=0.
Variation :
x-------------->-∞....................-3/2.............0................3...................+∞
x------------->...........-.......................-.........0........+...............+.............
(2x+3)²---->..........+..............0.........+................+.................+..............
(x-3)------->..........-........................-..................-..........0.........+...........
f '(x)------>...........+...............0..........+.......||.......-........0..........+..........
f(x)------->.........C.................0.........C........||.......D......40.5.........C...........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
Si on fait un tableau de valeurs pour vérifier ce tableau de variation , on trouve :
f(-4) = -3.906
f(-3/2)=0 : On a bien croissance.
f(-1) = 0.5 : Tjrs croissance.
f(1) = 62.5
f(3) = 40.5 : On a bien décroissance
f(4)= 41.594 : croissance de nouveau.
Je te joins un graph non demandé.
