Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Partie A :
1)
x=1 est racine de P(x)=0 car P(1)=1³+1²-1-1=0
Donc on peut mettre (x-1) en facteur dans : x³+x²-x-1 , ce qui donne :
P(x)=(x-1)(ax²+bx+c)
avec a ≠ 0
2)
Tu développes (x-1)(ax²+bx+c) et à la fin , tu trouves :
P(x)=(x-1)(ax²+bx+c)=ax³+x²(b-a)+x(c-b)-c
Par identification du membre de droite avec : P(x)=x³+x²-x-1
Il faut :
a=1
b-a=1 ==> b=1+a
b=2
c-b=-1 ==> c=-1+b
c=-1+2=1
-c=-1
c=1
Donc :
P(x)=(x-1)(x²+2x+1)
Partie B :
1)
f(x)=1/(1-x+x²)
Cherchons s'il existe une ou des valeurs qui annulent le dénominateur.
x²-x+1
Δ=b²-4ac=(-1)²-4(1)(1)= -3 < 0
Pas de racines donc : x²-x+1 est toujours > 0 car le coeff de x² est > 0.
f(x) est définie sur IR et donc dérivable sur IR comme inverse d'une fct carrée dérivable sur IR.
La dérivée de 1/u est -u'/u².
Ici u=1-x+x² donc u'=2x-1
f '(x)=-(2x-1)/(1-x+x²)²
f '(x)=(1-2x) / (1-x+x²)²
2)
f '(x) est donc du signe de : 1-2x
1-2x > 0 ==> x < 1/2
Variation :
x----------->-∞..............................1/2..........................+∞
f '(x)------>................+..................0.............-.................
f(x)-------->...............C.................4/3.............D.................
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend .
f(1/2)=4/3
3)
a)
Ta ==> y=f '(-1)(x-(-1)) + f(1)
f '(-1)=(1+2) / (1+1+1)²=1/3
f(-1)=1/(1+1+1)=1/3
Ta ==> y=(1/3)(x+1)+1/3
y=(1/3)x+1/3+1/3
y=(1/3)x+2/3
Position de Ta par rapport à Cf .
On étudie le signe de h(x)= f(x)-[(1/3)x+2/3]
h(x)=1 /(1-x+x²) - [(1/3)x+2/3)
On réduit au même dénominateur :
h(x)=[1 - (1/3)(x+2)(1-x+x²)] /(1-x+x²)
h(x)=[1 - (1/3)(x³+x²-x+2)] / (1-x+x²)
h(x)=[(3-x³-x²+x-2)/3] / (1-x+x²)
h(x)=(-x³-x²+x+1) / 3(1-x+x²)
h(x)=(x³+x²-x-1) / -3(1-x+x²)
h(x)=P(x) / -3(1-x+x²)
On a vu que : 1-x+x² est toujours > 0
Donc h(x) est du signe de P(x)/-3.
P(x)=(x-1)(x²+2x+1)
x²+2x+1=(x+1)² qui est toujours ≥ 0 ( nul pour x=-1).
Donc P(x) est du signe de (x-1)/-3 donc du signe de (1-x)/3 donc du signe de (1-x).
1-x > 0 ==> x < 1
Donc sur ]-∞;1] , h(x) ≥ 0 et Cf au-dessus de Ta ( point de tangence en x=-1
Et sur [1;+∞[ , h(x) ≤ 0 et Cf au-dessous de Ta.
b)
f '(0)=1/1²=1 et f(0)=1/1=1
Tb ==> y=x+1
Position de Cf et Tb :
h(x)=1/(1-x+x²) - (x+1)
h(x)=[1 - (x+1)(1-x+x²) ] / (1-x+x²)
h(x)=([1-(x³+1)] / (1-x+x²)
h(x)=-x³ / (1-x+x²)
1-x+x² est tjrs > 0 .
Donc h(x) du signe de -x³.
Sur ]-∞;0] , h(x) est donc > 0 et Cf au-dessus de Tb.
Et sur [0;+∞[ , Cf au-dessous de Tb.
4)
Je te laisse terminer . C'est facile . Mais voici les réponses à trouver:
En C : Tc ===>y=-x+2
En D : Td ==>y=-(1/3)x+1
Voir graph.
