Réponse :
Bonjour, je vais t'expliquer en détail comment faire avec le premier et tu te débrouilleras avec les suivants
Explications étape par étape
z=(2+2i)^6
On calcule d'abord le module r de z=2+2i par:
r=[tex]\sqrt{a^2+b^2}[/tex]=[tex]\sqrt{4+4}[/tex]=[tex]\sqrt{8}[/tex]=2[tex]\sqrt{2}[/tex]
On peut alors écrire:
z=(2[tex]\sqrt{2}[/tex]((1/[tex]\sqrt{2}[/tex])+(1/[tex]\sqrt{2}[/tex])i))^6
z=(2[tex]\sqrt{2}[/tex])^6(([tex]\sqrt{2}[/tex]/2+([tex]\sqrt{2}[/tex]/2)i)^6 car 1/[tex]\sqrt{2}[/tex]=[tex]\sqrt{2}[/tex]/2
donc on en déduis alors:
cos α=[tex]\sqrt{2}[/tex]/2 d'où α=π/4 (lecture du cercle trigonométrique)
sin α=[tex]\sqrt{2}[/tex]/2
On peut alors écrire:
z=(2√2)^6(cos(π/4)+isin(π/4))^6
Par la formule de Moivre (voir ton cours), nous pouvons écrire:
(cos (π/4)+isin(π/4)^6=cos (6×π/4)+isin(6×π/4)
(cos(π/4)+isin(π/4))^6=cos(3π/2)+isin(3π/2)
(cos(π/4)+isin(π/4))^6=-i
On peut alors écrire que:
z=(2[tex]\sqrt{2}[/tex])^6(-i)
z=64*8*(-i)
z=-512i
Voilà, tu suivras la même méthode et tu arriveras au bout sans soucis.
