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Bonjour, pouvez vous m’aidez svp. Soient f la fonction définie sur ]0;+infini[ par:

f(x)= 1+ln(x)/x^2
Et C sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1.a. Calculer la limite de f en 0. En donner une interprétation graphique.
b. Déterminer la limite de f en +infini. En donner une interprétation graphique.
2.a. Montrer que pour tout x>0
f’(x)= -1-2ln(x)/x^3
b. En déduire les variations de f sur ]0;+infini[.
3.a. Montrer que la courbe C admet un unique point d’intersection avec l’axe des abscisses, dont on précisera les coordonnées.
b. En déduire le signe de f(x) sur ]0;+infini[.

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ étude sur IR+ de la fonction f

   telle que f(x) = 1 + (Lnx)/x²

■ 1a) Limite pour x tendant vers 0+ :

        Lim f(x) = Lim (Lnx) = -∞ .

        l' axe des ordonnées servira

                d' asymptote verticale !

■ 1b) Lim pour x tendant vers +∞ :

        Lim f(x) = 1

        on aura donc une asymptote horizontale à droite !

         ( équation de l' asymptote : y = 1 )

■ 2a) dérivée f ' (x) :

          f ' (x) = [ x²/x - 2xLnx ] / (x²)²

                   = x [ 1 - 2Lnx ] / (x²)²

                   = [ 1 - 2Lnx ] / x³

          cette dérivée est positive pour 1 - 2Lnx > 0

                                                                   2Lnx < 1

                                                                     Lnx < 0,5

                                                                         x < exp(0,5)

          ( exp(0,5) ≈ 1,6487 )

■ 2b) tableau de variation :

         x -->  0              Xo                 1,6487               +∞

   f ' (x) -->              positive                 0     négative  

      f(x) --> -∞               0                   1,184                 +1

■ 3a) comme la fonction f est continue sur IR+ ,

           et croissante sur l' intervalle ] 0 ; 1,64 ] ,

           et qu' elle passe de -∞ à +1,184 ,

         on peut affirmer que sa représentation

         graphique admet un point unique

         d' intersection avec l' axe des abscisses .

        calcul de Xo :

        LnXo / (Xo)² = -1

                  LnXo = - Xo²

                      Xo = exp(-Xo²)

                      Xo ≈ 0,6529 .

          conclusion :

          les coordonnées du point d' intersection

                                                  sont ( 0,653 ; 0 ) .

■ 3b) f est négative sur l' intervalle ] 0 ; 0,6529 ] ;

          puis positive ensuite sur [ 0,653 ; + ∞ [ !

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