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Bonjour, peut-on m'éclairer ?

Déterminer la limite de [tex]\frac{5^n}{n!}[/tex] .
Merci bcp !


Sagot :

Tenurf

Bjr,

J'imagine que tu n'as pas encore vu les séries sinon c'est immédiat.

Regardons ce que ça donne à la main

[tex]5^n[/tex] c'est 5 * 5 * ... * 5 n fois

n!=n(n-1)(n-2)...1 il y a n termes

[tex]\dfrac{5^n}{n!}=\dfrac{5}{n} \times \dfrac{5}{n-1} \cdots \dfrac{5}{1}[/tex]

donc on a un produit où les premiers termes sont > 1 et ensuite on voit que ça va devenir bien petit, coupons le produit comme ci dessous par exemple

[tex]\dfrac{5^n}{n!}=\dfrac{5^6}{6!}\times \dfrac{5^{n-6}}{n(n-1)\cdots 7}[/tex]

Nous avons n-6 termes où chaque terme est supérieur à 7 donc leur inverse inférieur à 1/7 donc

[tex]\dfrac{5^n}{n!}=\dfrac{5^6}{6!}\times \dfrac{5^{n-6}}{n(n-1)\cdots 7} \leq \dfrac{5^6}{6!}\times \dfrac{5^{n-6}}{7^{n-6}}=\dfrac{5^6}{6!}\times (\dfrac{5}{7})^{n-6}\rightarrow 0[/tex]

car 5/7 < 1

donc la limite est 0 et pour info, c'est le cas de

[tex]\dfrac{x^n}{n!}[/tex]

quel que soit la valeur de x.

Ce que l'on peut retenir par "la factorielle l'emporte sur la puissance"

Merci

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