Réponse :
Bonsoir
Explications étape par étape
Le fond de la boîte est un triangle équilatéral de côté 60-2x et de hauteur [(60-2x)*rac3 ]/2
l'aire du fond est donc (60-2x)²*(rac3)/4
Pour déterminer la hauteur de la boîte h=x*tan30°=x/rac3
le volume de la boîte est donc V(x)=x(60-2x)²/4=x(30-x)²
V(x)=x(900-60x+x²)=x³-60x²+900x
Il reste à étudier cette fonction sur [0;30]
V'(x)=3x²-120x+900
v'(x)=0 si x²-40x+300=0
delta=1600-1200=400
V'(x)=0 pour x=(40-20)/2 =10 et x=(40+20)/2=30
Tableau de signes de V'(x) et de variations de V(x)
x 0 10 30
V'(x).................+....................0......................-...................
V(x) 0.........croi...................V(10)........décroi................0
Le volume de la boîte est max pour x=10
V(10)=1000-6000+9000=4000cm³ soit 4 litres.
Vérification
si x=10 Aire base=(40*40rac3 )/4=400rac3
et h=10/rac3 donc V=4000cm³
