Bjr,
En fait les ensembles des entiers de la forme (3n), (3n+1), (3n+2) forment une partition de tous les entiers, d'aprés les propriétés de la division euclidienne.
Pour tout n entier il existe un entier k tel que n=3k, ou n=3k+1 ou n=3k+2.
Notons l la limite commune et écrivons la définition de la convergence des suites extraites
[tex](\forall \varepsilon >0) (\exists n_0 \in \mathbb{N}); (\forall n \in \mathbb{N}); (n \geq n_0 => |u_{3n}-l|<\varepsilon)[/tex]
[tex](\forall \varepsilon >0) (\exists n_1 \in \mathbb{N}); (\forall n \in \mathbb{N}); (n \geq n_1 => |u_{3n+1}-l|<\varepsilon)[/tex]
[tex](\forall \varepsilon >0) (\exists n_2 \in \mathbb{N}); (\forall n \in \mathbb{N}); (n \geq n_2 => |u_{3n+2}-l|<\varepsilon)[/tex]
Prenon un epsilon quelconque, et posons
[tex]N=max(3n_0,3n_1+1,3n_2+2)[/tex], du coup
[tex](\forall n \in \mathbb{N}); (n \geq N => |u_{n}-l|<\varepsilon)[/tex]
Et c'est la définition de la convergence de (un) vers l.
De ce fait, la suite (un) converge vers la même limite l.
Merci
