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Merci de m’aider à résoudre cet exercice :
f est la fonction définie sur ] 0 ;+∞ [ par f(x)= x² ln (x).
a) vérifier que pour tout réel x > 0 , f’(x) = x(2ln(x) +1).
b) Démontrer que f admet un minimum sur ] 0 ;+∞ [
Préciser ce minimum et en quelle valeur il est atteint.

Sagot :

Réponse :

bonjour

Explications étape par étape

la dérivée est donnée dans l'exercice

f(x) est de la forme u*v sa dérivée est u'v+v'u

f'(x)=2x *lnx+(1/x)*x²=x(2lnx +1)

f'(x)=0 si 2lnx=-1

lnx=-1/2   solution  x=1/Ve

Tableau de signes de f'(x) et de varaitions de f(x)

x    0                        1/Ve                            +oo

f'(x) II........-.................... 0..............+...................

f(x) II0-......décroi.......f(1/Ve)........croi............+oo

f(1/Ve)=(1/Ve)² *ln(e^-1/2)=(1/e)*(-1/2) lne=-1/(2e)=-0,2 (environ)

f(x) admet un minimum pour x=1/Ve    

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