Réponse :
Explications étape par étape
Bonjour
Le schéma ci-contre représente le jardin de Leïla. Les segments OB et OF représentent des murs. OB = 6 et OF = 4. La ligne pointillée BCDEF représente le grillage que Leïla veut installer pour délimiter un enclos rectangulaire OCDE. Elle dispose d'un rouleau de 50 m de grillage qu'elle veut utiliser entièrement. On note BC= x et A la fonction qui, à tous réel x de [0;20] , associe l'aire de l'enclos.
1) a. exprimer CD en fonction de x
CD = 50 - (x + 6) - x - (CD - 4)
CD = 50 - x - 6 - x - CD + 4
2CD = 48 - 2x
CD = 48/2 - 2x/2
CD = 24 - x
b. Montrer que A(x) = - x^2 + 18x + 144
A(x) = OC * CD
A(x) = (x + 6)(24 - x)
A(x) = 24x - x^2 + 144 - 6x
A(x) = -x^2 + 18x + 144
2)a. Calculer A(9) - A(x)
A(9) - A(x) = -9^2 + 18 * 9 + 144 - (-x^2 + 18x + 144)
A(9) - A(x) = -81 + 162 + 144 + x^2 - 18x - 144
A(9) - A(x) = x^2 - 18x + 81
b. Déterminer le signe de A(9) - A(x)
A(9) - A(x) = x^2 - 2 * x * 9 + 9^2
A(9) - A(x) = (x - 9)^2 > 0
A(9) - A(x) est positif
c. Pour quelle valeur de x, l'aire de l'enclos est-elle maximale ? Donner les dimensions de l'enclos ainsi obtenu.
A’(x) = -2x + 18
-2x + 18 = 0
2x = 18
x = 18/2
x = 9
x...........|0............9................20
A’(x).....|18......(+).0.......(-)....(-22)
A(x)......|///////////225\\\\\\\\\\\\\
/ : croissante
\ : decroissante
Pour x = 9 l’aire de l’enclos est maximale
