Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape
Je te préviens : je saute la partie "Python". Tu pourras remettre ton exo sur le site en renvoyant à ma réponse et en précisant ce qui te manque.
Partie A :
1)
P(x)=2x³-3x²-1
P '(x)=6x²-6x
P '(x)=6x(x-1)
P '(x) est < 0 entre les racines car le coeff de x² est > 0.
Racines : x=0 et x=1
Variation :
x------------->-∞................0......................1...........................+∞
P '(x)------->...........+.........0...............-......0.............+...........
P(x)-------->.............C........-1.............D......-2........C.............
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
2)
a)
P(1)=-2
P(2)=3
b)
Avec la calculatrice , on trouve :
1.6 < α < 1.7
3)
Tableau de signes :
x--------->-∞..................................α≈1.7...............................+∞
P(x)------>................-.......................0...............+......................
Partie B :
1)
f(x)=(1-x)/(1+x³) de la forme : u/v
u=1-x donc u '=-1
v=1+x³ donc v '=3x²
f '(x)=[-(1+x³)-3x²(1-x)] / (1+x³)²
f '(x)=(-1-x³-3x²+3x³) / (1+x³)²
f '(x)=(2x³-3x²-1) / (1+x³)²
f '(x)=P(x) / (1+x³)²
2)
f '(x) est donc du signe de P(x).
x-------->-1...........................α≈1.7..............................+∞
f '(x)---->..............-.................0............+.................
f(x)------>...............D............≈-0.12.......C.............
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
Partie C :
1)
Y=f ' (0)(x-0) + f(0)
f '(0)=-1/1=-1
f(0)=1
y=-x+1
2)
On étudie le signe de :
h(x)=f(x)-(-x+1)
h(x)=(1-x)/(1+x³) - (-x+1)
h(x)=(1-x)/(1+x³) - (1-x)
h(x)=(1-x) [1/(1+x³)-1 ] ==>on réduit au même déno dans les [..]
h(x)=(1-x)[(1-1-x³)/(1+x³)
h(x)=(1-x)(-x³)/(1+x³)
h(x)=x³(x-1)/(1+x³)
Sur ]-1;+∞[ , le terme (1+x³) est > 0 car : 1+x³ > 0 donne x³ > -1 donc x > -1 car la fct cube est strictement croissante.
Signe de h(x) :
x------->-1................0.................1...................+∞
x³------->..........-.......0........+.................+............
x-1---->.........-....................-..........0.........+........
h(x)---->.........+.........0........-.........0..........+........
Sur ]-1;0] U [1;+∞ , Cf au-dessus de T.
Sur [0;1] : Cf au-dessous de T.
Voir graph.
